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Randbedingungen

Mathematische Methoden und Computereinsatz, 1) bei Differentialgleichungen spezifizierte Nebenbedingungen (engl. boundary conditions). Bei gewöhnlichen Differentialgleichungssystemen werden für jede Differentialgleichung so viele Randbedingungen benötigt, wie deren Ordnung ist. Statt n Randbedingungen für eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung können auch die Anfangswerte der Funktion und der ersten Randbedingungen Ableitungen bzw. eine Mischung von Randbedingungen und Anfangswerten spezifiziert werden. Bei partiellen Differentialgleichungen, die als Randwertprobleme auftreten, z.B. der Poisson-Gleichung oder der Laplace-Gleichung, mit gesuchter Lösungsfunktion Randbedingungen unterscheidet man Dirichletsche Randbedingungen (Vorgabe der Funktionswerte auf dem Rand, d.h. Randbedingungen mit Bogenlänge Randbedingungen entlang des Randes Randbedingungen) und Cauchysche Randbedingungen (Vorgabe der Normalenableitung auf dem Rand, d.h. Randbedingungen) bzw. im Falle Randbedingungen Neumannsche Randbedingungen. Formuliert man das Randwertproblem als Variationsprinzip, so ergeben sich Dirichletsche und Cauchysche Randbedingungen als natürliche Randbedingungen. Bei parabolischen Differentialgleichungen oder hyperbolischen Differentialgleichungen müssen neben den Randbedingungen noch Anfangsbedingungen vorgegeben werden. Weitere typische Randbedingungen in der Physik sind periodische Randbedingungen und solche, die vorgeben, dass sich der Betrag einer interessierenden Funktion im Unendlichen asymptotisch dem Wert Null nähert.

2) in der mathematischen Optimierung spezifizierte Nebenbedingungen (engl. constraints). Hier treten neben der zu maximierenden Zielfunktion Randbedingungen häufig Randbedingungen der Form Randbedingungen und Randbedingungen auf. Sind die Gradienten von Randbedingungen und Randbedingungen konstant, so ist durch die Randbedingungen ein Polyeder definiert. Ist Randbedingungen und Randbedingungen konvex, so ist der durch die Randbedingungen zugelassene Bereich ebenfalls konvex. Die Konvexität spielt in der Optimierung eine wichtige Rolle, da bei konvexen Problemen das lokale Optimimum identisch mit dem globalen Optimum ist.

 

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