Techniklexikon

Laplace-Gleichung

partielle Differentialgleichung (DGL) zweiter Ordnung für eine skalare Funktion y(r), die in einem vorgegebenen Gebiet die Gleichung Dy = 0 erfüllt (D: Laplace-Operator; in kartesischen Koordinaten gilt ¶²y / ¶x² + ¶²y / ¶y² + ¶²y / ¶z² = 0). Mathematisch handelt es sich um eine lineare, elliptische DGL, für deren Lösung bei gegebenen Randbedingungen ein umfassendes analytisches und numerisches Instrumentarium existiert. In zwei Dimensionen ist die Laplace-Gleichung die Grundgleichung der Funktionentheorie, so dass für ebene Probleme die dort entwickelten Methoden zur Verfügung stehen. Alle Lösungen der Laplace-Gleichung, die stetig sind und stetige partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung besitzen, werden harmonische Funktionen genannt; die Linearität der DGL garantiert die Gültigkeit des Superpositionsprinzips. Physikalische Bedeutung besitzt die Laplace-Gleichung als Feldgleichung zur Bestimmung des Potentials f wirbelfreier Vektorfelder v = grad f in Gebieten, die keine Quellen der Felder enthalten (div v = 0); in der Elektrostatik sind dies Bereiche ohne Ladungen. Mit dem Potential f = W_L der Leitungsbandkante und grad W_L = qE gilt speziell im Festkörper:

div grad W_L = DW_L = q div E = r (q / e₀) = (q² / e₀) ( + p -  - n) = 0

(n: Konzentration von Elektronen, p: Konzentration von Löchern, : Konzentration der ionisierten Donatoren, : Konzentration der ionisierten Akzeptoren). Weitere Anwendungsgebiete sind die Magnetostatik, elektrodynamische Probleme sowie die wirbelfreie, inkompressible Strömung von Fluiden. Die Laplace-Gleichung kann auch als Sonderfall der Kontinuitätsgleichung für stationäre Verhältnisse auftreten, z.B. in der Thermostatik als zeitunabhängige Wärmeleitungsgleichung. Eine Verallgemeinerung der Laplace-Gleichung auf Gebiete mit Quellen ist die Poisson-Gleichung.