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Riemannsche Geometrie

Relativitätstheorie und Gravitation, Riemannscher Raum, Riemannsche Mannigfaltigkeit, ist eine n-dimensionale, differenzierbare Mannigfaltigkeit, auf welcher ein zweistufig-kovariantes, symmetrisches und nicht entartetes Tensorfeld Riemannsche Geometrie, genannt Metrik, definiert ist. Dies bedeutet Riemannsche Geometrie für beliebige Vektoren Riemannsche Geometrie und Riemannsche Geometrie sowie Riemannsche Geometrie für alle Vektoren Riemannsche Geometrie, nur wenn Riemannsche Geometrie ist. Wählt man nun in dieser Mannigfaltigkeit Koordinaten Riemannsche Geometrie und wendet die Metrik auf die infinitesimalen Ortsvektoren Riemannsche Geometrie an, so ergibt sich folgende Koordinatendarstellung der Metrik:

Riemannsche Geometrie

Riemannsche Geometrie heisst der Abstand zweier infinitesimal benachbarter Punkte der Riemannschen Mannigfaltigkeit mit der Koordinatendifferenz Riemannsche Geometrie. Aus obigen Eigenschaften folgt für die Komponenten Riemannsche Geometrie der Metrik:

Riemannsche Geometrie

Daraus folgt die Existenz einer inversen Metrik, die ebenfalls symmetrisch ist.

Für einen gegebenen, beliebigen Punkt auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit lassen sich stets Koordinaten dergestalt finden, dass die Metrik diagonal ist und ihre Diagonalelemente nur die Werte Riemannsche Geometrie annehmen. Die Zahl der Elemente mit Riemannsche Geometrie und derjenigen mit Riemannsche Geometrie ist unabhängig von der gewählten Orthonormalbasis und wird als Signatur bezeichnet. Ist die Signatur gleich Riemannsche Geometrie, so heisst die Metrik riemannsch, ist sie gleich Riemannsche Geometrie, so heisst sie lorentzsch. Es erhebt sich die Frage, ob man auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit Koordinaten wählen kann dergestalt, dass die Metrik an jedem Punkt Diagonalgestalt (mit Werten Riemannsche Geometrie) annimmt. Ist dies der Fall, so heisst die Riemannsche Mannigfaltigkeit flach, sonst gekrümmt. G.F.B. Riemann hat diese Problematik analysiert und einen Tensorkalkül entwickelt, welcher die Beantwortung dieser Frage erlaubt. Aus den Komponenten der Metrik lässt sich ein vierstufiger Krümmungstensor konstruieren, der genau dann überall verschwindet, wenn die Riemannsche Mannigfaltigkeit flach ist.

Durch die Metrik erhält eine Riemannsche Mannigfaltigkeit also eine geometrische Struktur. Insbesondere lassen sich »kürzeste« Verbindungen (Geodäten) zwischen zwei Punkten definieren. Die derartige Kurven beschreibende Gleichung führt zum Konzept des Riemannschen Zusammenhangs.

 

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