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Metrik

Mathematische Methoden und Computereinsatz, 1) eine Abstandsfunktion Metrik auf einer Menge Metrik mit (a) Metrik und Metrik, (b) Metrik, (c) Metrik (Dreiecksungleichung). Metrik heisst dann metrischer Raum. Beispiele dafür sind der Metrik mit euklidischer Metrik Metrik oder ein Hilbert-Raum Metrik mit Metrik.

2) ein metrisches Feld; das ist ein symmetrisches kovariantes Tensorfeld

Metrik

auf einer Mannigfaltigkeit Metrik, so dass die Matrix Metrik für alle Metrik invertierbar ist. Die Komponenten des durch Invertierung von Metrik entstehenden kontravarianten Tensorfeldes Metrik schreibt man mit oberen Indizes:

Metrik

 Eine Metrik induziert einen Isomorphismus zwischen ko- und kontravarianten Tensoren (»Herauf- bzw. Herunterziehen« von Indizes): Einem Tangentenvektor Metrik bei Metrik wird die 1-Form (Differentialformen) Metrik und einer 1-Form Metrik bei Metrik der Tangentenvektor Metrik zugeordnet. In einem Kartenbereich (Mannigfaltigkeiten) gibt es ein orthonormales n-Bein, Metrik (Tensorfelder) von 1-Formen Metrik, so dass 

Metrik

  mit konstanter Diagonalmatrix Metrik und Metrik für Metrik und Metrik für Metrik. I.a. gibt es aber keine lokalen Koordinaten Metrik, so dass Metrik. Der Raum Metrik heisst dann gekrümmt (Krümmung). Falls es aber solche lokalen Koordinaten gibt, heisst der Raum lokal flach und, falls man mit einem einzigen solchen Koordinatensystem auskommt, flach. Ein flacher Raum muss mit einem Metrik übereinstimmen. Ist die Matrix Metrik für alle x positiv definit, heisst g eine Riemannsche Metrik, sonst pseudo-Riemannsch. Metrik nennt man dann einen Riemannschen bzw. pseudo-Riemannschen Raum. Im Riemannschen Fall kann man eine Orthonormalbasis so finden, dass Metrik die Einheitsmatrix ist, und es lässt sich aus g eine Metrik im Sinne von (1) konstruieren.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie repräsentiert eine pseudo-Riemannsche Metrik g auf der vierdimensionalen Raumzeit das Gravitationsfeld. Hier spielen die Christoffel-Symbole (Christoffel-Konnexion) einer Metrik g eine bedeutende Rolle. Sie sind relativ zu einem lokalen Koordinatensystem Metrik definiert durch

Metrik

Sie bilden die Komponenten des Riemannsches Zusammenhanges. Die Geodäten von g sind die Kurven Metrik in Metrik, die die Gleichung

Metrik

 erfüllen. Sie verallgemeinern die gleichförmige kräftefreie Bewegung eines Teilchens im flachen Raum auf Bewegungen in gekrümmten Räumen. Interpretiert man g als Schwerefeld, so sind die Geodäten die möglichen Bahnkurven von Teilchen, die nur der Schwerkraft unterworfen sind.

 

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