Techniklexikon

Krümmungstensor

Tensor 4. Stufe, mit dem sich die Krümmung eines linearen Zusammenhangs (Konnexion)  auf einer Mannigfaltigkeit X darstellen lässt. Sind  Vektorfelder und a eine 1-Form (Differentialformen), so ist

eine reelle Funktion (0-Form) auf X. Relativ zu einem lokalen n-Bein  von Vektorfeldern und dem dualen n-Bein  von 1-Formen (Metrik), sind die Komponenten des Krümmungstensors

Ist  der Riemannsche Zusammenhang einer Metrik g, so nennt man die Kontraktion (Einsteinsche Summenkonvention)

den Ricci-Tensor und

die skalare Riemannsche Krümmung. Daraus bildet man den Einstein-Tensor , der in die Einstein-Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie eingeht.

Der Krümmungstensor  ist antisymmetrisch in den letzten beiden Indizes. Daher sind die

Die 2-Formen der Krümmung sind ihrer mathematischen Natur nach verwandt mit den Feldstärketensoren F der Eichtheorien. (Prinzipalbündel)