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Drehgruppe

Mathematische Methoden und Computereinsatz, im engeren Sinne die Menge der Drehungen im dreidimensionalen Anschauungsraum Drehgruppe3, die zusammen mit der Operation der Hintereinanderausführung zweier Drehungen die algebraische Struktur einer Gruppe bildet. Da im allgemeinen die Reihenfolge, in der zwei Drehungen nacheinander ausgeführt werden, eine Rolle spielt, ist die Gruppe der Raumdrehungen nicht abelsch. Jede Raumdrehung kann als Übergang zu einem anderen Koordinatensystem aufgefasst werden und kann folglich durch eine orthogonale 3 ´ 3-Matrix, die Drehmatrix, dargestellt werden. Die Drehmatrizen bilden in analoger Weise ebenfalls eine Gruppe, wenn die Hintereinanderausführung durch die Matrixmultiplikation ersetzt wird. Die Determinante ist entweder + 1 oder -1; im ersten Fall spricht man von eigentlichen, im zweiten Fall von uneigentlichen Drehungen. Eigentliche Drehungen lassen sich stetig in die identische Abbildung überführen, d.h. aus vielen kleinen Teildrehungen zusammensetzen, während bei den uneigentlichen Drehungen dazu mindestens eine Spiegelung erforderlich ist. Erweitert man die Drehgruppe um die Lorentz-Transformationen, gelangt man zur homogenen Lorentz-Gruppe, welche die relativistische Verallgemeinerung der Drehgruppe darstellt und deren Elemente durch 4 ´ 4-Matrizen im Minkowski-Raum repräsentiert werden können.

Häufig werden auch andere Verallgemeinerungen der gewöhnlichen Drehgruppe als Drehgruppen bezeichnet, nämlich die orthogonalen Gruppen O(n) (orthogonale n ´ n-Matrizen), die speziellen orthogonalen Gruppen SO(n) (orthogonale n ´ n-Matrizen mit Determinante 1), die unitären Gruppen U(n) (unitäre n ´ n-Matrizen) und die speziellen unitären Gruppen SU(n) (unitäre n ´ n-Matrizen mit Determinante 1). Die Drehgruppe im engeren Sinne heisst in dieser Terminologie O(3), während die Gruppe der eigentlichen Drehungen mit SO(3) bezeichnet wird. Die Gruppen SO(n) und SU(n) sind wichtige Beispiele für Lie-Gruppen, wobei die SU(n) in der Quantenmechanik und dort insbesondere in der Elementarteilchenphysik eine bedeutende Rolle spielen.

 

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