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Lorentz-Transformation

Relativitätstheorie und Gravitation, affine Transformation, die den Abstand zweier Weltpunkte (Ereignisse)

Lorentz-Transformation

invariant lässt und daher Inertialsysteme in Inertialsysteme überführt. Sie kann in der Form

Lorentz-Transformation

parametrisiert werden, wobei die Matrix Lorentz-Transformation aufgrund der Invarianzforderung die Bedingung

Lorentz-Transformation

erfüllen muss. Der Abstand zweier Ereignisse kann dabei positiv, negativ oder null sein. Die Flächen Lorentz-Transformation sind Hyperboloide im Raum- und Zeitkontinuum, die sich an den durch Lorentz-Transformation definierten Lichtkegel anschmiegen. Die Raumzeit zerfällt also in separierte, durch das Vorzeichen des Abstandes zweier Weltpunkte charakterisierte Gebiete: die Region mit Lorentz-Transformation heisst zeitartig, die mit Lorentz-Transformation lichtartig und die mit Lorentz-Transformation raumartig, wobei diese Regionen nicht durch eine Lorentz-Transformation verbunden werden können.

Die spezielle Lorentz-Transformation zwischen zwei Koordinatensystemen, die sich relativ zueinander entlang der räumlichen 1-Achse mit der Geschwindigkeit Lorentz-Transformation bewegen, hat die explizite Gestalt

Lorentz-Transformation

wobei Lorentz-Transformation und Lorentz-Transformation. Lorentz-Transformation lässt sich durch Lorentz-Transformation parametrisieren; die zugehörige Matrix lautet also

Lorentz-Transformation

sie erzeugt einen Lorentz-Boost in x-Richtung. Er kann analog zu einer Drehung im euklidischen Raum auch als Pseudodrehung, bei der die Funktionen des Drehwinkels Hyperbelfunktionen sind, aufgefasst werden (siehe Abb.).

Entsprechend konstruiert man Lorentz-Boosts in y- und z-Richtung. Zwei hintereinander ausgeführte Boosts erzeugen aber keinen anderen reinen Boost, sondern zusätzlich eine räumliche Drehung; die allgemeinen Lorentz-Transformationen setzen sich also aus Boosts und Drehungen zusammen und bilden die Lorentz-Gruppe.

Lorentz-Transformation

Lorentz-Transformation

Lorentz-Transformation: Oben: Übergang von einem in ein anderes Koordinatensystem in der euklidischen Ebene. Der Winkel a zwischen den Achsen bleibt fest. Die Kurve mit dem Abstand Lorentz-Transformation ist ein Kreis mit Radius 1.

Unten: Eine spezielle Lorentz-Transformation (Boost) als Pseudodrehung. Die Winkelhalbierende (Lichtkegel) zwischen den Achsen bleibt fest. Die Kurven mit Lorentz-Transformation sind Hyperbeln.

 

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