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dynamische Systeme

Begriff aus der System- und der Chaostheorie, der ganz allgemein eine Menge von Grössen x1, x2, x3, . . . meint, deren Werte sich mit der Zeit ändern. Oft werden diese Grössen zu einem Vektor x zusammengefasst, der den Systemzustand charakterisiert. Der Begriff umfasst die in der klassischen Mechanik untersuchte Dynamik von Punktteilchen oder Körpern, lässt sich jedoch auch auf so unterschiedliche Dinge wie Konzentrationen der Reaktanden einer chemischen Reaktion, Populationszahlen in der Biologie oder volkswirtschaftliche Grössen und Aktienkurse anwenden. Wenn die Zeitpunkte infinitesimal aufeinanderfolgen, spricht man von stetiger, sonst von diskreter Dynamik. Stetige Dynamiken werden durch Differentialgleichungen beschrieben. Tritt keine explizite Zeitabhängigkeit in den Bewegungsgleichungen auf, so heisst die Dynamik autonom. Wenn der Systemzustand in folgenden Zeitpunkten von den vorhergehenden Zuständen eindeutig bestimmt ist, spricht man von einem deterministischen dynamischen System. In deterministischen nichtlinearen Systemen kann es zu langfristig unvorhersagbarem Verhalten kommen (Chaos, deterministisches Chaos), wenn kleine Änderungen in den Anfangsbedingungen exponentiell verstärkt werden ("Schmetterlingseffekt"). Der Raum mit den Koordinaten x1, x2, x3, . . . heisst Phasenraum, die Kurve x(t) wird Trajektorie oder Orbit genannt. Insbesondere nichtlineare Dynamiken werden oft anhand von Schnittbildern des Phasenraumes, sog. Poincaré-Schnitten, untersucht. Eine mathematische Definition kann mit dem Konzept des dynamischen Flusses gegeben werden.

 

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