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Eulersche Winkel

Klassische Mechanik, drei Winkel, welche die Lage zweier rechtwinkliger Koordinatensysteme mit gemeinsamem Ursprung zueinander beschreiben. Sie wurden von L. Euler zur Behandlung der Bewegung des Kreisels eingeführt. In diesem Fall geben die Eulerschen Winkel e1,2,3 die relative Lage eines mit dem rotierenden Körper verbundenen Koordinatensystem gegenüber einem vorgegebenen (raumfesten) Koordinatensystems an. Es seien zwei Koordinatensysteme K und K¢ vorgegeben. Die xy-Ebene schneidet die x¢y¢-Ebene in der Knotenlinie k. Ihre positive Richtung wird so gewählt, dass sie der Richtung des Vektorprodukts ez ´ ez entspricht, wobei ez und ez die Einheitsvektoren in z bzw. z¢-Richtung darstellen. Dann ist e1 ist der Winkel zwischen z und z¢, e2 derjenige zwischen x und k und e3 schliesslich bildet den Winkel zwischen k und x¢ (Abb.).

Die Eulerschen Winkel spielen in der Gruppentheorie, insbesondere bei Drehgruppen (unitäre Transformationen), eine bedeutende Rolle. Jede räumliche Drehung lässt sich als Ergebnis einer Drehung um die z-Achse mit dem Winkel e1, einer anschliessenden Drehung um die neue x-Achse mit dem Winkel e2 und einer darauf folgenden Drehung um die neue z-Achse mit dem Winkel e3 erhalten, wobei e1,2,3 die Eulerschen Winkel sind. Die Gesamtdrehung kann man als das Produkt dreier unitärer Matrizen darstellen, die durch zwei komplexe Parameter a und b, die sog. Cayley-Kleinschen Parameter, charakterisiert werden. Es gilt:

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Eulersche Winkel

Eulersche Winkel: Das raumfeste Koordinatensystem K ist schwarz dargestellt, das mit dem Körper mitrotierende Koordinatensystem K¢ rot. Die Knotenlinie k ist blau und die Eulerschen Winkel e1,2,3 sind grün eingezeichnet.

 

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EURECA

 

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