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Fokker-Planck-Gleichung

QuantenmechanikPlasmaphysik, MagnetohydrodynamikThermodynamik und statistische Physik, Einstein-Fokker-Planck-Gleichung, Smoluchowski-Gleichung, in der mathematischen Literatur auch als Kolmogorow-Gleichung bekannt, von Fokker 1914 und Planck 1917 erstmals für eine erweiterte Theorie der Brownschen Bewegung abgeleitete partielle Differentialgleichung, die in der statistischen Physik des Ungleichgewichtszustandes zur Beschreibung verallgemeinerter diffusiver Prozesse eingesetzt wird. Grundlage ist die Betrachtung dieser diffusiven Vorgänge als eine bestimmte Unterklasse stochastischer Prozesse, der Markow-Prozesse, gegenüber denen sie durch einen Satz von Forderungen an das Kurzzeitverhalten der Übergangswahrscheinlichkeit W(y1, t1|y0, t0) eingeschränkt werden, der Wahrscheinlichkeit also, dass die betrachtete Zufallsvariable Y(t) zur Zeit t1 den Wert y1 annimmt unter der Voraussetzung, dass sie zur Zeit t0 den Wert y0 durchlaufen hat. Für kleine t soll gelten:


Es ist sinnvoll, einschränkende Bedingungen bezüglich der betrachteten Prozesse über das Kurzzeitverhalten der Übergangswahrscheinlichkeit einzuführen, da dieses in vielen Fällen aus dem physikalischen Zusammenhang bekannt ist. Das Langzeitverhalten kann dann mittels der Fokker-Planck-Gleichung bestimmt werden, die sich aus der Chapman-Kolmogorow-Gleichung mit den obigen Forderungen an die Momente der Übergangswahrscheinlichkeit ergibt. Für eine mehrdimensionale Zufallsvariable y mit kartesischen Komponenten yi gilt:

Der eindimensionale Fall vereinfacht sich zu:

Der Vergleich dieser wichtigen Beziehung mit dem Fickschen Gesetz , welches reine Diffusionsprozesse beschreibt, weist die Fokker-Planck-Gleichung als eine verallgemeierte Diffusionsgleichung mit einem eigentlichen Diffusionsterm zweiter Ordnung in der Ableitung und mit einem zusätzlichen Term erster Ordnung (Driftterm oder dynamische Reibung) aus. Die Fokker-Planck-Gleichung beschreibt also die Überlagerung eines Diffusionsprozesses mit einem Driftvorgang im Raum der Variablen y.

Beispiele für Anwendungsmöglichkeiten sind die Brownsche Bewegung, der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess und der Wiener-Prozess. Obwohl chemische Reaktionen eher als Sprungprozess im Rahmen der Master-Gleichung behandelt werden sollten, ist eine näherungsweise Beschreibung durch die Fokker-Planck-Gleichung gleichfalls möglich.

In der Plasmaphysik werden mit der Fokker-Planck-Gleichung u.a. Relaxationsphänomene untersucht, so z.B. die charakteristischen Zeiten für die Einstellung einer stationären Geschwindigkeitsverteilung oder die dynamischen Vorgänge bei der Abbremsung (»Slowing-Down«) schneller Teilchen, die durch Fusionsreaktionen im Plasma entstanden sind oder zum Zwecke der Plasmaheizung ins Plasma injiziert wurden. Eine spezielle, in der Plasmaphysik gebräuchliche Form der Fokker-Planck-Gleichung ist die Landau-Gleichung. [JS2]

 

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