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Wahrscheinlichkeit

Mathematische Methoden und Computereinsatz, der Quotient aus der Anzahl nA der für ein Ereignis A günstigen Fälle und der Anzahl n aller möglichen Fälle für den Ausgang eines Experiments. Man schreibt dafür P(A) = nA / n. Alle n Fälle, die sogenannten Elementarereignisse, müssen gleichmöglich sein und sich gegenseitig ausschliessen. Z.B. gibt es beim Werfen einer idealen Münze zwei Elementarereignisse mit jeweils der Wahrscheinlichkeit 1 / 2 (Wappen und Zahl) und beim Werfen eines idealen Würfels sechs mit jeweils der Wahrscheinlichkeit 1 / 6. Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses ist 0, die des sicheren Ereignisses ist 1.

Aus P(A) = nA / n ergeben sich sofort zwei Verknüpfungsregeln für die Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen irgendeines von mehreren sich gegenseitig ausschliessenden Ereignissen ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse: P(A oder B) = P(A) + P(B). Die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Auftreten mehrerer statistisch unabhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse: P(A und B) = P(A) × P(B).

Um einem Experiment einen Erwartungswert zuordnen und Abweichungen mathematisch erfassen zu können, definiert man Zufallsvariablen X, denen man durch die Funktion Wahrscheinlichkeit eine Verteilungsfunktion zuordnet. Für eine diskrete Zufallsgrösse, die die Werte Wahrscheinlichkeit annehmen kann, ist Wahrscheinlichkeit die Summe aller Wahrscheinlichkeit mit Wahrscheinlichkeit. Eine Veranschaulichung bei diskreten Zufallsgrössen, bei denen die Wahrscheinlichkeit keinen Häufungspunkt haben, liefern Histogramme. Die einem Histogramm zugrunde liegende durch Wahrscheinlichkeit definierte Funktion heisst Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Verteilung.

Zu vielen Verteilungsfunktionen stetiger Zufallsvariablen existieren Dichtefunktionen (Wahrscheinlichkeitsdichte) Wahrscheinlichkeit mit den Eigenschaften Wahrscheinlichkeit.

Eine Zufallsgrösse ist sowohl durch ihre Verteilungsfunktion als auch durch ihre Dichtefunktion bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion vollständig festgelegt. Oftmals gibt man aber nur einige charakteristische Zahlenwerte an, die die wesentlichen Informationen enthalten; der wichtigste ist der Erwartungswert E(X), definiert als Wahrscheinlichkeit (für diskretes X) bzw. Wahrscheinlichkeit (für stetiges X). Zur Beschreibung der Abweichungen benutzt man die Varianz D(X) oder V(X), die gleich dem Erwartungswert Wahrscheinlichkeit ist. Der Wert Wahrscheinlichkeit heisst Standardabweichung oder Streuung.

Unter geeigneten Voraussetzungen haben Zufallsgrössen charakteristische Verteilungsfunktionen mit entsprechenden Verteilungen bzw. Dichtefunktionen (Binomialverteilung, Gauss-Verteilung, Poisson-Verteilung). (Fehlerrechnung)

 

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