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Hamiltonsches Prinzip

Prinzip der kleinsten Wirkung, allgemeines Prinzip, dessen Anwendungsbereich nicht auf die Mechanik beschränkt ist und das dynamische Verhalten physikalischer Systeme zu bestimmen ermöglicht. Die Bewegung eines mechanischen Systems von N Massepunkten kann als stetige Bahnkurve in einem mehrdimensionalen Lage- oder Konfigurationsraum dargestellt werden. Die vom System wirklich durchlaufene Bahnkurve wird mit benachbarten variierten Bahnkurven verglichen, die ebenfalls mit den Bindungen des Systems verträglich sind (Variation der Bahn). Befindet sich der i-te Massepunkt auf der wirklichen Bahn zum Zeitpunkt t am Ort ri, so würde er sich auf der variierten Bahn um dri verschieben, d.h. am Ort ri + dri befinden (Abb.); Anfangs- und Endpunkt der Bahn werden dabei nicht variiert, d.h., dri(t0) = dri(t1) = 0, wenn t0 bzw. t1 die zugehörigen Zeiten sind. Längs aller möglichen Bahnen wird die Lagrange-Funktion Hamiltonsches Prinzip bestimmt, die sich aus der kinetischen Energie T und der potentiellen Energie U des Systems zusammensetzt. Das Integral Hamiltonsches Prinzip ist eine Funktion (genauer: ein Funktional) der Bahnkurve im Lageraum; S heisst Wirkungsfunktion oder -integral, da es die Dimension einer Wirkung (d.i. Energie · Zeit) hat, oder auch Hamiltonsche Prinzipalfunktion (Wirkung). Das Hamiltonsche Prinzip besagt, dass die Wirkungsfunktion S für die wirklich durchlaufene Bahnkurve minimal (genauer: extremal) ist, d.h., dass die erste Variation dS von S für die wirkliche Bewegung verschwindet: Hamiltonsches Prinzip. Greifen an dem vorliegenden System auch Kräfte ohne Potential U an, so muss das Hamiltonsche Prinzip in der allgemeinen Form Hamiltonsches Prinzip formuliert werden, wobei A die von diesen Kräften am System verrichtete Arbeit ist.

Das Hamiltonsche Prinzip kann auch mit beliebigen verallgemeinerten Koordinaten qj und Geschwindigkeiten Hamiltonsches Prinzip zur Beschreibung eines Systems herangezogen werden. Bei holonomen Bindungen sind die verallgemeinerten Koordinaten qj voneinander unabhängig; sie können daher auch unabhängig voneinander variiert werden. Aus dem Hamiltonschen Prinzip folgen dann die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art:

Hamiltonsches Prinzip bzw. Hamiltonsches Prinzip.

Dabei muss die virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte, Hamiltonsches Prinzip in Abhängigkeit von den verallgemeinerten Kräften (verallgemeinerte Koordinaten) ausgedrückt werden. Beim Vorliegen nichtholonomer Bindungen unterliegen die dqj zusätzlichen Einschränkungen der Art Hamiltonsches Prinzip (n = 1, ..., k), wobei k die Anzahl nichtholonomer Bindungen ist, die mittels der Lagrangeschen Multiplikatorenmethode zu berücksichtigen sind. Die obigen Bewegungsgleichungen sind dann durch die Ausdrücke Hamiltonsches Prinzip auf den rechten Seiten zu ergänzen: ln sind insgesamt k unbestimmte Parameter (Lagrangesche Multiptikatoren), die zusammen mit den qj aus den f Bewegungsgleichungen und den k Bindungsgleichungen zu bestimmen sind. Wegen der Äquivalenz der Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art mit dem Hamiltonschen Prinzip wird bei praktischen Untersuchungen gewöhnlich von diesen ausgegangen, dies trifft besonders für nicht-mechanische Systeme zu (Feldtheorie).

Hamiltonsches Prinzip

Hamiltonsches Prinzip: Wirkliche und variierte Bahn eines Massepunktes. Befindet sich der Massepunkt auf der wirklichen Bahn zum Zeitpunkt t am Ort ri, so würde er sich auf der variierten Bahn um dri verschieben, d.h. am Ort ri + dri befinden.

 

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