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Hodge-Stern

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Hodge-Operator, Isomorphismus * zwischen p-Formen und (n - p)-Formen, der durch eine Metrik g auf einer orientierten n-dimensionalen Mannigfaltigkeit X ausgezeichnet wird (Differentialformen). Ist (e1, ..., en) ein positiv orientiertes orthonormales n-Bein zur Metrik g und e = e1 Ù ... Ù en das von g und der Orientierung erzeugte Volumenelement, so gilt e = *1, *e = (-)s,

wobei s = 0 für eine Riemannsche Metrik (det g > 0) und s = 1 für eine pseudo-Riemannsche Metrik (det g < 0). Doppelte Anwendung des Hodge-Sterns auf eine p-Form f liefert wieder eine p-Form: **f = (-)p(n-p)+s f.

Es gelten die Rechenregeln:

Hodge-Stern

Beispiele: 1) X = Hodge-Stern3, gij = dij. Zur 1-Form B = Bi dxi des magnetischen Feldes gehört die 2-Form *B, deren Integral Hodge-Stern über eine Fläche S gleich dem magnetischen Fluss durch S ist.

2) X = Hodge-Stern4, gab = hab (Minkowski-Metrik). Der Feldstärketensor F der Elektrodynamik ist eine 2-Form, *F ist der duale Feldstärketensor.

 

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