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Differentialformen

Mathematische Methoden und Computereinsatz, antisymmetrische kovariante Tensorfelder auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit X. Eine Differentialform f vom Grad p, kurz p-Form, beschreibt an jedem Punkt x Î X eine antisymmetrische p-Linearform

fx: Tx(X) ´ ... ´ Tx(X) Differentialformen  Differentialformen 

(p Faktoren). Tx(X) ist der Tangentialraum von X bei x. Der Raum der antisymmetrischen p-Linearformen auf einem p-dimensionalen Vektorraum ist n!/p!(n - p)!-dimensional für 0 < p < n, sonst p-dimensional. Daher gibt es keine von 0 verschiedenen Differentialformen vom Grad p > n. Es bezeichne  E p(X) den Raum der glatten p-Formen auf X und  E (X) =  E 0(X) Å  ...  Å  E n(X) den Raum aller glatten Differentialformen auf X. Insbesondere ist  E 0(X) der Raum  C  ¥ (X) der glatten Funktionen auf X. Durch das äussere Produkt  Ù  wird  E (X) eine Grassmann-Algebra.  Ù  ist assoziativ,

(f Ù y) Ù w = f Ù (y Ù w),

distributiv,

f Ù (y + w) = f Ù y + f Ù w,

und graduiert kommutativ,

f Π E p(M), y Π E q(M) Þ f Ù y = ( - 1)pqf Ù y.

Für f Π E 0(M) ist

f Ù f = ff,

und für zwei 1-Formen a, b gilt

a Ù b = a ­ b - b ­ a.

Die innere Ableitung  Differentialformen  nach einem Vektorfeld  v  ordnet einer p-Form f die (p - 1)- Form  v  Differentialformen f zu, definiert durch

( v  Differentialformen f)( w  1, ...,  w  p - 1) = f( v  ,  w  1, ...,  w  p - 1)

für Vektorfelder  w  i. Die äussere Ableitung d ordnet einer p-Form eine (p + 1)-Form df zu: Sind x1, ..., xn lokale Koordinaten und 1, ..., n die zugehörigen Vektorfelder, so sind die 1-Formen dxi dual zu den n, d.h. dxi(j) = dij (Kronecker-Symbol). Jede p-Form f besitzt eine Darstellung

Differentialformen

(unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention!). Dann ist

Differentialformen

Insbesondere gilt für eine 0-Form

Differentialformen

und für f Π E p(X), y Π E q(X) ist

d(f Ù y) = df Ù y + ( - 1)pf Ù dy.

Es gilt: d2 = 0. f heisst geschlossen, falls df = 0, und exakt, falls f = dy. Die Einschränkung einer geschlossenen Form auf eine hinreichend kleine Umgebung ist exakt. Die Lie-Ableitung von f Π E (X) nach einem Vektorfeld  v  ist

 L  v  f =  v  Differentialformen df + d( v  Differentialformen f).

Die Lie-Ableitung nach einem Vektorfeld  v  und die innere Ableitung nach einem Vektorfeld  w  erfüllen die wichtige Relation

 L  v ( w  Differentialformen f) -  w  Differentialformen ( L  v  f) = [ v ,  w ] Differentialformen f,

wobei [ v ,  w ] die Lie-Klammer von  v  mit  w  ist. Trägt X eine Orientierung, so kann man p-Formen über p-dimensionale Untermannigfaltigkeiten integrieren (Integralsätze). Ist auf X zusätzlich eine Metrik g gegeben, so erhält man ein ausgezeichnetes Volumenelement e und einen Hodge-Stern*. Metrik und äussere Ableitung definieren den Gradienten. Die Koableitung einer p-Form f ist die (p - 1)-Form

df: = ( - 1)n(p + 1) + s* d *f,

wobei s die Signatur der Metrik ist. Die Metrik ordnet einem Vektorfeld  v  die 1-Form Differentialformen zu; die Koableitung von Differentialformen ist die Divergenz des Vektorfeldes  v . Der Laplace-Beltrami-Operator ist

D = dd + dd.

Im euklidischen  Differentialformen n (Metrik gij = dij, s = 0) gilt

Differentialformen

Wichtig ist schliesslich noch der Pullback von Differentialformen (Tensorfelder): Ist f: X Differentialformen Y eine glatte Abbildung und f Π E (Y), so ist der Pullback f *f eine p-Form auf X, definiert durch

(f *f)x( v 1, ...,  v p) : = ff(x)(Tx f( v 1),...,Tx f( v p))

für Tangentenvektoren  v i Î Tx(X), wobei Tx f die Ableitung von f an der Stelle x ist (Tangentialraum).

Beispiele: In der Mechanik verwendet man die kanonischen Formen q = pidqi und w =  - dq = dqi Ù dpi und das Liouville-Mass W = dq1 Ù ... Ù dqn Ù dp1 Ù ... Ù dpn auf dem Phasenraum. In der Elektrodynamik bilden der Vierer-Strom J = Jmdxm und das Vierer-Potential A = Amdxm 1-Formen. Der Feldstärketensor ist die 2-Form Differentialformen. Damit lauten die Maxwell-Gleichungen: dF = 0 und dF = J. Die Eichfelder A der Yang-Mills-Theorien sind 1-Formen, ihre Feldstärken F sind 2-Formen. In der Thermodynamik bildet man aus der Temperatur T und der Entropie S die 1-Form TdS; das Integral  ò gTdS über einen Weg (Prozess) g im Phasenraum ist die dem System während des Prozesses insgesamt zugeführte Wärme. In der Allgemeinen Relativitätstheorie können Krümmung und Torsion als 2-Formen interpretiert werden. [SD]

 

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