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Iterationsverfahren

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Algorithmus, der aus der wiederholten Ausführung einer bestimmten Abbildungsvorschrift oder Transformation f besteht. Zur Illustration sei die Lösung der Fixpunktgleichung x = f(x) (*) diskutiert. Ein Iterationsverfahren zur Lösung von (*) besteht in der Wahl eines Startwertes x0 und Anwendung der Rekursionsformel xk = f(xk - 1). Neben der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung von (*) ist die Konvergenz des Iterationsverfahrens und der Folge xk zu klären. Liegen alle Folgenglieder im abgeschlossenen Intervall [a,b] und ist |f'(x)| < 1 für alle Iterationsverfahren [a,b], so konvergiert die Folge Iterationsverfahren gegen den Fixpunkt x*.

Als Beispiel sei die numerische Lösung der in der Himmelsmechanik wichtigen KeplergleichungIterationsverfahren

bzw. Iterationsverfahren

und Iterationsverfahren, Iterationsverfahren mit verschiedenen Iterationsverfahren der Form Iterationsverfahren gelöst, wobei die Berechnung von Iterationsverfahren einmal nach dem klassischen Newton-Verfahren, dann aus der Taylor-Reihe bis zur zweiten Ordnung und schliesslich aus dem Entwicklungsterm r11 der Padé-Approximation der Ordnung (1,1) berechnet wird:

Iterationsverfahren

Die Lösungen für M = 0.6 und e = 0.9 mit dem Anfangswert x0 = 0,08 und der Lösung x = 1,497589413390409. Die Padé-Approximation auf Iterationsverfahren liefert diesen Wert bereits nach 4 Iterationen. Der Taylorreihenansatz zweiter Ordnung konvergiert ebenfalls schneller als das Newton-Verfahren, kann allerdings nicht mit x0 = 0 initialisiert werden. Der Konvergenzradius dieser drei Iterationsverfahren ist sehr unterschiedlich. Das Newtonverfahren divergiert für x0 = 0,07, während die beiden anderen Verfahren sich dort wie bei x0 = 0,08 regulär verhalten.

Untersuchungen des Konvergenzverhaltens von Iterationsverfahren in der komplexen Zahlenebene führten B. Mandelbrot und G. Julia zu den Konzepten der Mandelbrot-Mengen, Apfelmännchen und den Julia-Mengen.

 

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