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Krümmung

1) intrinsische Krümmung, die Krümmung r eines linearen Zusammenhangs (Konnexion) Krümmung auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit X, die je zwei Vektorfeldern u,v auf X den Operator

Krümmungzuordnet. Das ist ein Differentialoperator 2.Ordnung für Tensorfelder auf X. r wird meist als Tensorfeld dargestellt (Krümmungstensor). Besonders wichtig ist die Riemannsche Krümmung eines pseudo-Riemannschen Raumes mit Metrik g. Hier ist Krümmung der zu g gehörende Riemannsche Zusammenhang. (X,g) ist genau dann lokal flach, wenn die Riemannsche Krümmung verschwindet. Die Krümmung ist von grosser Bedeutung in der Allgemeinen Relativitätstheorie. 2) extrinsische Krümmung einer (n - 1)-dimensionalen Untermannigfaltigkeit S in einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit X, wobei auf X eine Metrik g und ein g-metrischer Zusammenhang Krümmung gegeben sind: Der Pullback von g auf S ist wieder eine Metrik Krümmung auf S, vorausgesetzt, S ist im pseudo-Riemannschen Fall nirgends tangential zum Lichtkegel. Bilden die 1-Formen (Differentialformen) Krümmung ein lokales orthonormales n-Bein für Krümmung auf S und Krümmung ein solches für g auf X, so kann man relativ zu den Krümmung, Krümmung, den Zusammenhang Krümmung lokal durch 1-Formen Krümmung darstellen. Die extrinsische Krümmung von S ist gegeben durch n 1-Formen Krümmung, Krümmung auf S. Diese sind die Pullbacks der 1-Formen Krümmung auf S. Meist versteht man unter der extrinsischen Krümmung das Tensorfeld Krümmung auf S. Ist Krümmung der Riemannsche Zusammenhang von g, so ist K symmetrisch, d.h. Krümmung. Die extrinsische Krümmung ist wichtig für die Hamiltonsche Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie und ihre kanonische Quantisierung. (Quantengravitation)

 

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