Pseudozufallszahlen

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Computerzufallszahlen, Bezeichnung für Zufallszahlen, die mit Hilfe eines Computers und einer bestimmten Abbildungsvorschrift, meist einer einfachen arithmetischen Regel, einem Pseudozufallszahlengenerator, erzeugt werden. Der Begriff Pseudozufallszahlen wird in Abgrenzung zu echten Zufallszahlen verwendet, die aus einem zufälligen (physikalischen) Prozess, z.B. dem radioaktiven Zerfall oder der Ziehung der Lottozahlen, folgen. Nachteilig bei der Verwendung von Pseudozufallszahlen ist ihre Eigenschaft, letztlich doch deterministisch und damit regelmässig und eben nicht zufällig zu sein; vorteilhaft ihre Verfügbarkeit in beliebiger Menge bei geringen Erzeugungskosten. Bei Vorgabe einer Startzahl  können im Intervall  gelegene Pseudozufallszahlen gemäss  und z.B. der linearen Kongruenzvorschrift

konstruiert werden, wobei z.B. ; die Konstanten  und  können beliebige natürliche Zahlenwerte annehmen. Der deterministische Charakter der Pseudozufallszahlen zeigt sich darin, dass bei gleichem Startwert  sich exakt dieselbe Folge von Pseudozufallszahlen ergibt; das kann bei bestimmten numerischen Experimenten, z.B. Monte-Carlo-Simulationen in der Teilchenphysik, ein Vorteil sein. Die Folge der Pseudozufallszahlen  wird irgendwann, spätestens aber nach  Folgengliedern, periodisch. Die maximale Periode  wird erreicht, wenn  eine Zweierpotenz,  durch 4 teilbar und  ungerade ist; diese Bedingung ist z.B. erfüllt bei  oder . Zufallszahlengeneratoren mit  heissen multiplikative Generatoren; diese können aber nie die maximale Periode erreichen. Trägt man die aus den Zufallszahlen  und  gebildeten Punkte  in ein Einheitsquadrat ein, so füllen diese Punkte bei einem guten Zufallszahlengenerator das Quadrat annähernd gleichmässig aus. Aus dieser Idee leitet sich ein quantitatives Gütemass des Pseudozufallszahlengenerators ab: im Spektraltest werden im Einheitsquadrat Streifen (Regionen zwischen parallelen Geraden) betrachtet. Der Kehrwert der Breite des breitesten Streifens, in dem kein Punkt  liegt, ist das (zweidimensionale) Gütemass des Generators. Verwendet man die lineare Kongruenzmethode, so liegt die beste erreichbare Güte etwa bei . Der Spektraltest lässt sich auf höhere Dimensionen  erweitern; in  Dimensionen werden Punkte  im d-dimensionalen Hypereinheitswürfel betrachet, und die maximal erreichbare Güte ist .