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Monte-Carlo-Simulation

Laserphysik und -technik, Berechnungsmethode mit Hilfe einer grossen Anzahl von zufälligen Zahlen. Sie wird hauptsächlich für Systeme mit sehr vielen Freiheitsgraden angewandt und fand erst mit der Verbreitung der Computertechnik Einzug in viele Bereiche der Mathematik, Physik und der technischen Wissenschaften, z.B. in der Theorie der Flüssigkeiten, bei der theoretischen Analyse von Solvatationseffekten und bei Konformationsberechnungen von Polymeren. Der Name der Methode wurde von Metropolis 1947 geprägt. Ein frühes Anwendungsbeispiel ist die Berechnung der Zahl p durch Buffon (1707-1788) mit einer grossen Zahl zufälliger Lagen einer Nadel der Länge l relativ zu einer Schar paralleler Geraden in der Ebene mit dem Abstand d > l. Damit erhält man eine experimentelle Abschätzung der Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel eine Linie trifft, welche analytisch durch den Ausdruck 2l / (pd) gegeben ist (allerdings mit nur 4 Stellen Genauigkeit für » 107 Versuche). Grössere Effizienz als bei dieser »Hit and Miss«-Methode erreicht man mit der Generation der Systemzustände nach der »Wichtigkeit«. Geeignete Aufgaben für dieses Herangehen sind z.B. Mittelwertberechnungen einer physikalischen Grösse A(r) von statistischen Ensembles

Monte-Carlo-Simulation

über alle Konfigurationen r; U(r) ist die potentielle Energie des Systems. Nur ein kleiner Teil des Konfigurationsraumes trägt wesentlich zum Integral bei, für die meisten Konfigurationen ist die Wahrscheinlichkeitsdichte Monte-Carlo-Simulation verschwindend klein. Nach der Methode von Metropolis bildet man eine Markowsche Kette, eine Folge Monte-Carlo-Simulation von Konfigurationen ri im Konfigurationsraum, ausgehend von einer zufälligen Konfiguration r0. Die Konfiguration ri + 1 bildet man auf der Basis von ri nach folgender Regel: (1) ri wird zufällig geändert, und eine Konfiguration r' entsteht. (2) Falls Monte-Carlo-Simulation,so wird ri + 1 = r' gesetzt. (3) Andernfalls wird Monte-Carlo-Simulation berechnet und mit einer zufälligen Zahl Monte-Carlo-Simulation verglichen. Es ist ri + 1 = r', falls a < p. Bei allen verbleibenden Möglichkeiten ist ri + 1 = ri. Mit Hilfe des Gesetzes der grossen Zahlen lässt sich beweisen, dass der arithmetische Mittelwert dieser Markowschen Kette im Sinne der Wahrscheinlichkeit gegen das Integral konvergiert

Monte-Carlo-Simulation

und damit die gewünschte Grösse Monte-Carlo-Simulation liefert. Die Monte-Carlo-Simulation mit ihrer Mittelung über das Ensemble ist prinzipiell äquivalent zur Molekulardynamik mit ihrer Mittelung über Zeiträume.

 

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