Techniklexikon

Bianchi-Identitäten

die für den Krümmungstensor R^a_bgd einer Riemannschen Mannigfaltigkeit erfüllten Gleichungen

R^a_[bgd] = 0

(erste Bianchi-Identität) und

R^a_[gd;m] = 0

(zweite Bianchi-Identität). Dabei bedeuten das Semikolon die kovariante Ableitung (Konnexion) und die eckigen Klammern die totale Antisymmetrisierung der entsprechenden Indizes. Die beiden Identitäten folgen aus den Cartanschen Strukturgleichungen durch Bildung der äusseren Ableitung. Um die obige Form der Bianchi-Identitäten zu erhalten, muss in den Strukturgleichungen das Verschwinden der Torsion gefordert werden; eine Verallgemeinerung auf Mannigfaltigkeiten mit nichtverschwindender Torsion (Riemann-Cartan-Geometrie) ist jedoch möglich.

Die zweite Bianchi-Identität spielt eine wichtige Rolle in der Allgemeinen Relativitätstheorie. So ergibt sich beispielsweise deren allgemeine Bewegungsgleichung, die Geodätengleichung, nicht als unabhängiges Axiom, sondern folgt als direkte mathematische Konsequenz aus der Einstein-Gleichung des Gravitationsfeldes und der zweiten Bianchi-Identität.