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kovariante Ableitung

Tensoroperation, die eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung darstellt. Ihre Wirkung auf ein Vektorfeld hat die Form kovariante Ableitung, wobei der zusätzliche Term dafür sorgt, dass kovariante Ableitung im Gegensatz zu kovariante Ableitung wie ein Vektor transformiert:

kovariante Ableitung

kovariante Ableitung sind die Zusammenhangskoeffizienten (Konnexion). Erst die kovariante Ableitung stellt eine koordinaten-unabhängige Ableitung dar; sie bringt die Notwendigkeit zum Ausdruck, zwei Vektoren, die an verschiedenen Punkten einer Kurve definiert sind, an einem Ort vergleichen, d.h. den einen Vektor zum anderen transportieren zu müssen (Paralleltransport). Diese Aufgabe vollzieht gerade die Konnexion.

Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit sind die kovariante Ableitung die Christoffel-Symbole (Christoffel-Konnexion) und definieren den metrischen Zusammenhang. In Eichtheorien ermöglicht die kovariante Ableitung die Definition einer eichinvarianten Ableitung; der Zusammenhang ist hier durch das Eichpotential gegeben,

kovariante Ableitung

 

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kovariante Formulierung der Elektrodynamik

 

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