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Lie-Algebra

ein Vektorraum g mit einer bilinearen Abbildung

Lie-Algebra

Lie-Algebra

die Lie-Algebra und die Jacobi-Identität Lie-Algebra erfüllt (Lie-Klammer). Eine n-dimensionale Lie-Algebra ist durch die Lie-Klammer von Basisvektoren Lie-Algebra bestimmt:

Lie-Algebra

Die Lie-Algebra sind die zur gewählten Basis gehörenden Strukturkonstanten. Geht man zu einer anderen Basis über, transformieren sie sich wie die Komponenten eines Tensors 3.Stufe. Die Lie-Algebra ist durch ihren Strukturtensor f bestimmt. Lie-Algebren treten häufig im Zusammenhang mit Lie-Gruppen auf. Unter der Lie-Algebra g einer Lie-Gruppe G versteht man die Lie-Algebra der linksinvarianten Vektorfelder auf G. Bei einer Matrixgruppe kann man diesen Vektorfeldern selbst wieder Matrizen zuordnen. In der Physik wichtig sind u.a. folgende Lie-Algebren:

a) Die Lie-Algebren Lie-Algebra bzw. Lie-Algebra der allgemeinen linearen Gruppen Lie-Algebra bzw. Lie-Algebra bestehen aus allen reellen bzw. komplexen Lie-Algebra-Matrizen. Für Lie-Algebra benutzt man oft die Weyl-Basis, das sind die Matrizen Lie-Algebra, deren Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte gleich 1 ist und alle anderen Elemente gleich 0 sind.

b) Lie-Algebra als Lie-Algebra von Lie-Algebra besteht aus allen spurlosen Lie-Algebra.

c) Lie-Algebra ist die Lie-Algebra von Lie-Algebra. Eine Basis von Lie-Algebra besteht aus den drei Matrizen Lie-Algebra mit den Pauli-Matrizen Lie-Algebra. Die Lie-Klammer ist Lie-Algebra.

d) Die Lie-Algebra-Vektorfelder Lie-Algebra auf einer glatten Mannigfaltigkeit bilden eine Lie-Algebra-dimensionale Lie-Algebra (Lie-Ableitung, Lie-Klammer).

 

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