Techniklexikon

Lie-Algebra

ein Vektorraum g mit einer bilinearen Abbildung

die  und die Jacobi-Identität  erfüllt (Lie-Klammer). Eine n-dimensionale Lie-Algebra ist durch die Lie-Klammer von Basisvektoren  bestimmt:

Die  sind die zur gewählten Basis gehörenden Strukturkonstanten. Geht man zu einer anderen Basis über, transformieren sie sich wie die Komponenten eines Tensors 3.Stufe. Die Lie-Algebra ist durch ihren Strukturtensor f bestimmt. Lie-Algebren treten häufig im Zusammenhang mit Lie-Gruppen auf. Unter der Lie-Algebra g einer Lie-Gruppe G versteht man die Lie-Algebra der linksinvarianten Vektorfelder auf G. Bei einer Matrixgruppe kann man diesen Vektorfeldern selbst wieder Matrizen zuordnen. In der Physik wichtig sind u.a. folgende Lie-Algebren:

a) Die Lie-Algebren  bzw.  der allgemeinen linearen Gruppen  bzw.  bestehen aus allen reellen bzw. komplexen -Matrizen. Für  benutzt man oft die Weyl-Basis, das sind die Matrizen , deren Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte gleich 1 ist und alle anderen Elemente gleich 0 sind.

b)  als Lie-Algebra von  besteht aus allen spurlosen .

c)  ist die Lie-Algebra von . Eine Basis von  besteht aus den drei Matrizen  mit den Pauli-Matrizen . Die Lie-Klammer ist .

d) Die -Vektorfelder  auf einer glatten Mannigfaltigkeit bilden eine -dimensionale Lie-Algebra (Lie-Ableitung, Lie-Klammer).