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Membranschwingungen

Schwingungen von dünnen Schichten. Membrane leisten einer Auslenkung nur aufgrund ihrer tangentialen Spannung Widerstand und nicht, wie z.B. Balken, aus ihrer inneren Steifigkeit heraus. Membranschwingungen sind das zweidimensionale Analogon zu Saitenschwingungen.

Setzt man voraus, dass für kleine Auslenkungen eines Flächenstückes dA der Membran die Rückstellkraft dF proportional zur Auslenkung Dz ist (Membranschwingungen), ergibt sich mit der Flächendichte Membranschwingungen und der Bewegungsgleichung Membranschwingungen die Wellengleichung

Membranschwingungen

Bei der Lösung geht als Randbedingung ein, dass sich an Stellen, an denen die Membran eingespannt ist, Knotenlinien
(Membranschwingungen) befinden (Schwingungsknoten). Für den Fall einer rechteckigen Membran mit den Seitenlängen a und b ergeben sich mit einem Ansatz sinusförmiger Schwingungen die Lösungen Membranschwingungen mit Membranschwingungen und den Eigenfrequenzen Membranschwingungen (Membranschwingungen). Für die runde Membran z.B. einer Pauke ergeben sich als Lösungen Bessel-Funktionen.

Frequenzen Membranschwingungen, die mit verschiedenen Kombinationen von m und n realisiert werden können, nennt man entartet (Entartung). Sie treten im Beispiel der Pauke im Klangbild besonders hervor.

Die Knotenlinien Membranschwingungen können sehr schön durch Aufstreuen von Sand sichtbar gemacht werden, da dieser nur an den unbewegten Stellen der Membran liegenbleibt (Chladnische Klangfiguren).

 

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