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Entartung

FestkörperphysikSchwingungen und WellenMathematische Methoden und Computereinsatz, 1) Mathematik: die Situation, dass es in einem Eigenwertproblem zu einem Eigenwert mehrere linear unabhängige Eigenvektoren gibt. Ein Eigenwert heisst n-fach entartet, wenn die Dimension des Eigenraumes zu diesem Eigenwert gleich n ist. Die 3 ´ 3-Einheitsmatrix I besitzt beispielsweise 1 als einzigen Eigenwert. Dieser ist jedoch dreifach entartet, da für alle Vektoren x aus Entartung3 Ix = x gilt. Die Eigenwert-Differentialgleichung  mit der periodischen Randbedingung y(x) = y(x + 2p) besitzt die Eigenwerte ln = -n2 und die Eigenfunktionen sin(nx) und cos(nx). Da die Eigenfunktionen linear unabhängig sind, sind die Eigenwerte je zweifach entartet. Beispielsweise sind die Energieeigenwerte En des Hamilton-Operators für das Elektron im Wasserstoffatom (ohne Berücksichtigung des Spins) n2-fach entartet, was bedeutet, dass es zur Energie En n2 linear unabhängige Eigenzustände gibt. Das Valenzelektron im Natriumatom sieht im Unterschied zum Elektron im Wasserstoffatom kein 1/r-Potential, was dazu führt, dass ein Teil der Entartung aufgehoben ist: Die Energieeigenwerte EnL sind nur noch (2L + 1)-fach entartet.

2) Wellenlehre: Besitzt die Schwingungsgleichung eines Systems mit Randbedingungen (Membran, Konzertsaal usw.) zur selben Eigenfrequenz mehrere linear unabhängige Lösungen, so nennt man diese (und auch die zugehörige Frequenz, sowie die daraus resultierende Schwingung) entartet. In einem Raum hallen die entarteten Frequenzen stärker wider als die nichtentarteten, so dass z.B. bei der Konstruktion von Konzertsälen darauf geachtet werden muss, entartete Frequenzen im hörbaren Bereich möglichst weitgehend zu vermeiden. Auch bei Lautsprechern und Mikrophonen spielen entartete Schwingungen eine Rolle (Membranschwingungen).

3) Statistische Physik: Ein Fermi-Gas wird als entartet bezeichnet, wenn die Temperatur T klein ist gegen die Fermi-Temperatur TF. Bei hohen Temperaturen T Entartung TF geht die Fermi-Dirac-Verteilung in eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung (Boltzmannscher Grenzfall) über, die die Besetzung der Energiezustände eines klassischen Gases angibt. Bei T  TF weichen mit abnehmender Temperatur die Eigenschaften des Gases mehr und mehr von denen des idealen Gases ab, und es tritt eine Gasentartung ein. Die Fermi-Dirac-Verteilung hat in diesem Fall einen ähnlichen Verlauf wie für T = 0, bei dem alle Zustände bis zur der Fermi-Energie EF mit Fermionen besetzt und alle Zustande oberhalb EF leer sind (Fermischer Grenzfall). Demnach besitzen die Teilchen auch am absoluten Nullpunkt eine mittlere Energie. In diesem Zusammenhang wird TF auch als Entartungstemperatur bezeichnet. (Gasentartung) [GB1, JS1, TV]

 

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Weitere Begriffe : Neumann-Koppsche Regel | Wege ins Chaos | Landau-Zylinder

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