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Zwangsbedingung

Klassische Mechanik, Bindung, Nebenbedingung, Bedingung, die dem Bewegungsablauf eines Systems von Massenpunkten oder Körpern geometrische Einschränkungen auferlegt. Systeme mit Zwangsbedingungen sind z.B. das Fadenpendel (Pendel), bei dem der Abstand der Pendelmasse vom Aufhängungspunkt fixiert ist, eine auf einem Draht gleitende Perle oder eine auf einer Fläche rollende Kugel. Im starren Körper kann als Zwangsbedingung aufgefasst werden, dass die gegenseitigen Abstände der Massenelemente rij fixiert sind. Die Zwangsbedingungen werden auf unterschiedliche Weise klassifiziert:

Als holonom wird eine Zwangsbedingung bezeichnet, wenn sie in einer Bedingungsgleichung der Form Zwangsbedingung formuliert werden kann, einer Gleichung also, die die Ortskoordinaten ri der Teilchen und eventuell die Zeit miteinander verknüpft. Ein Beispiel ist ein Teilchen, das gezwungen ist, sich längs einer vorgegeben Bahnkurve zu bewegen. Jede unabhängige holonome Zwangsbedingung reduziert die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems um Eins. Nicht-holonom oder Anholonom heisst jede Zwangsbedingung, die sich nicht in dieser Form darstellen lässt, wie z.B. die Bedingung des Rollens einer Kreisscheibe auf einer Ebene, in deren Bedingungsgleichungen neben den Koordinaten auch die Drehgeschwindigkeit der Scheibe auftritt, so dass die Gleichungen nicht integrierbar sind.

Eine weiteres Kategorisierungsmerkmal bildet die Zeitabhängigkeit. Rheonom heisst eine explizit zeitabhängige Zwangsbedingung, während skleronome Zwangsbedingungen zeitunabhängig sind.

Im Rahmen der Newtonschen Mechanik müssen Zwangsbedingungen in Form sog. Zwangskräfte eingeführt werden, die das System zur Einhaltung der Nebenbedingungen zwingen, wie z.B. beim Fadenpendel, bei dem die Zwangskraft die an der Pendelmasse angreifende Graviationskraft und die durch die Bewegung verursachte Zentrifugalkraft kompensieren muss.

Die in der Newtonschen Darstellung auftretenden Schwierigkeiten bei der Lösung mechanischer Probleme können umgangen werden, indem man für Aufgaben mit holonomen Zwangsbedingungen die aus dem d'Alembertschen Prinzip abzuleitenden Lagrange-Gleichungen in den verbliebenen Freiheitsgraden angepassten verallgemeinerten Koordinaten verwendet, in denen die Zwangskräfte nicht explizit auftreten. Dies ist für anholonome Zwangsbedingungen nicht möglich, die eine systematische Lösung unmöglich machen. In der formalen Entwicklung der analytischen Mechanik wird daher meist die Abwesenheit von anholonomen Zwangsbedingungen vorausgesetzt.

 

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