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d'Alembertsches Prinzip

eines der fundamentalen Prinzipien der klassischen Mechanik. Mit seiner Hilfe lässt sich die Bewegung gebundener mechanischer Systeme ohne explizite Kenntnis der a priori meist unbekannten Zwangskräfte (Zwangsbedingung) behandeln, und zwar, weil von dem Postulat ausgegangen wird, dass sich die Gesamtheit der Zwangskräfte eines Systems im Gleichgewicht befindet.

Es wurde von d'Alembert als Erweiterung des Prinzips der virtuellen Arbeit, das in der Literatur bisweilen gleichfalls als d'Alembertsches Prinzip bezeichnet wird, auf die Dynamik formuliert.

Die dynamische Grundgleichung für ein System von n Massenpunkten, das einer oder mehreren Zwangsbedingungen unterliegt, kann als d'Alembertsches Prinzip geschrieben werden, wobei Fi die eingeprägten Kräfte, mi die Massen und ai die Beschleunigungen bedeuten. Die Zwangsbedingungen werden hier, wie in der Newtonschen Mechanik unumgänglich, in Form der Zwangskräfte Fi ¢  berücksichtigt. Obige Gleichung wird als Formulierung eines statischen Gleichgewichts aufgefasst, wobei die d'Alembertsches Prinzip als Trägheitskräfte verstanden werden, so dass hier ein dynamisches Problem formal auf ein statisches zurückgeführt wird. Beim d'Alembertschen Prinzip wird nun, wie eingangs erwähnt, postuliert, dass sich die Gesamtheit der Zwangskräfte eines Systems im Gleichgewicht befindet. Berücksichtigt man, dass nach dem Prinzip der virtuellen Arbeit die Zwangskräfte bei einer virtuellen Verrückung dri im Gleichgewichtsfall keine Arbeit verrichten, so folgt das d'Alembertsche Prinzip

d'Alembertsches Prinzip,

dessen hier wiedergegebene Formulierung von Lagrange die explizite Berücksichtigung der Zwangskräfte umgeht.

Es sei angemerkt, dass die formale Rückführung eines dynamischen Problems auf ein statisches physikalisch den Wechsel von einem Inertialsystem, in dem keine Trägheitskräfte auftreten, zu einem mit dem Massenpunkt mitgeführten Bezugssystem, in dem der betrachtete Körper ruht, entspricht.

Weiterentwickelt wird dieser Ansatz ohne Zwangskräfte in den Lagrange-Gleichungen erster und zweiter Art. Da insbesondere letztere eine einfachere Aufstellung der Bewegungsgleichungen eines Systems erlauben, dies nicht zuletzt wegen der Vermeidung der etwas schwierigen Begriffsbildung wie z.B. bei derjenigen der virtuellen Verrückungen, kommt dem d'Alembertschen Prinzip heute hauptsächlich nur noch historische Bedeutung zu.

 

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