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Eikonal

Optik, "Bild", in der Theorie der geometrisch-optischen Abbildung die Bezeichnung von Abbildungsfunktionen, die die Beziehung zwischen Objekt- und Bildraum beschreiben. Gemäss dem Fermatschen Prinzip nimmt das Licht im Verlauf der Abbildung denjenigen Weg zwischen zwei durch stetige Flächen (Spiegel, Linsen oder Prismen) in getrennten Medien liegenden Punkten A und B, der nicht dem kürzesten geometrischen Weg l, sondern aufgrund der unterschiedlichen Fortpflanzungsgeschwindigkeiten in den Medien dem kürzesten optischen Weg n × l, d.h. dem kleinsten Produkt aus geometrischer Weglänge l und Brechzahl n, entspricht. Die Summe der optischen Weglängen ist Eikonal bzw. Eikonal. Sie wird als charakteristische Funktion oder auch als das Brunssche Eikonal eines optischen Systemes bezeichnet. Die Forderung nach einem Extremum in der charakteristischen Funktion lässt sich als:

Eikonal

formulieren. Zeigt das Medium eine kontinuierliche Brechzahländerung, so geht die Summe in das Integral über:

Eikonal.

Dieser Aspekt spielt eine wichtige Rolle bei der wellentheoretischen Betrachtung. Wird z.B. mit einer vollständig korrigierten Linse Licht vom Punkt A in den Punkt B abgebildet, so gehen von A divergente Kugelwellen aus, die in B konvergieren. Hierbei sind A und B singuläre Stellen der Wellenfronten, die in einem Punkt degenerieren. Die Fortpflanzungszeit der verschiedenen Strahlen muss dabei gleich sein, da sonst die Strahlen mit Gangunterschieden in B eintreffen und miteinander interferieren. Solange man (wie bei der geometrischen Optik) die Lichtwellenlänge als verschwindend klein gegenüber allen anderen auftretenden Abmessungen betrachtet, lässt sich eine Funktion der Ortskoordinaten eines Objektpunktes A mit (x0, y0, z0) und der des konjugierten Bildpunktes B mit (x1, y1, z1) angeben, und der Extremwert H ist i.a. nur von diesen Koordinaten abhängig. Mit Hilfe des Eikonals lassen sich Strahlengänge berechnen und der Zusammenhang zwischen einzelnen optischen Abbildungsfehlern deutlicher bestimmen als bei der Berechnung mit den trigonometrischen Funktionen. Hält man A fest und variiert B so in seiner Lage, dass H(A, B) gleich bleibt, so bilden die Punkte B eine Wellenfläche der von A in verschiedenen Richtungen ausgehenden Strahlen. Für die charakteristische Funktion H gilt die Differentialgleichung

Eikonal,

Für den Fall der astigmatischen Abbildung lässt H aufgrund seines singulären Verhaltens in den Bildpunkten keine eindeutige Berechnung zu. W. Hamilton benutzte das Eikonal, um eine grundsätzliche Analogie zwischen Strahlenoptik und klassischer Dynamik zu zeigen, die wiederum Schrödinger zur Konzeption einer der Wellenoptik analogen Wellenmechanik angeregt hat.

Das von K. Schwarzschild eingeführte Winkel-Eikonal W, mit dem die Singularität vermieden wird, beschreibt die zwei korrespondierenden Lichtstrahlen nicht mit Hilfe der Koordinaten von A und B, sondern durch den Richtungskosinus der Strahlen im Objekt- und Bildraum, die als unabhängige Variablen eingeführt werden.

Das häufig benutzte Seidelsche Eikonal (Seidelsches Winkel-Eikonal) S fügt dem Winkel Eikonal W geeignete Funktionsausdrücke hinzu und beschreibt den Lichtweg eines Strahles durch einen Objektpunkt und den Durchtrittspunkt durch die Austrittspupille. Die Differentialquotienten des Eikonals S zeigen gemäss der verschiedenen Variablen dann die Strahlabweichung von der Gaussschen Abbildung beim Verlassen des Paraxialgebietes.  [KB2]

 

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