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Poisson-Klammern

Klassische Mechanik, ein in der Analytischen Mechanik gebräuchlicher Operator, der auf Funktionen der kanonischen Impulse und Koordinaten Poisson-Klammern wirkt und eng mit den Lagrange-Klammern verwandt ist. Die Poisson-Klammern sind definiert als

Poisson-Klammern

Für alle kanonischen Variablen pk, qk  gelten die fundamentalen Posisson-Klammern

Poisson-Klammern, unabhängig vom Satz der gewählten kanonischen Variablen. Für eine beliebige Funktion F(qi,pi) gilt

Poisson-Klammern

Wird als Funktion F die Hamilton-Funktion H gewählt, so lassen sich die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen elegant schreiben als Poisson-Klammern. Man kann zeigen, dass eine Funktion, deren Poisson-Klammer mit der Hamilton-Funktion identisch verschwindet, eine Konstante der Bewegung des Problems ist. Weiterhin ist die Poisson-Klammer zweier Konstanten der Bewegung eine ebensolche. So lassen sich ganze Serien von Konstanten der Bewegung konstruieren, von denen sich jedoch zahlreiche als trivial entpuppen. Die tiefere Bedeutung der Poisson-Klammern liegt darin, dass sie einen der Berührungspunkte der Hamiltonschen Mechanik mit der Quantenmechanik darstellen. Die Poisson-Klammer entspricht dem mit 2p / ih multiplizierten Kommutator zweier Grössen.

 

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