Techniklexikon

Prinzipe der Mechanik

Klassische Mechanik, Aussagen, aus denen die Bewegungsgleichungen für freie und gebundene mechanische Systeme abgeleitet werden können. Man unterscheidet Differentialprinzipe, bei denen benachbarte Augenblickszustände verglichen werden, und Integralprinzipe, bei denen das Verhalten des Systems während endlicher Zeiten auf benachbarten Bahnkurven verglichen wird. Bei den Integralprinzipen wird ein Integral von der Dimension einer Wirkung zu einem Extremum, weshalb sie auch Extremal- oder Variationsprinzipe, häufig auch Aktions- oder Wirkungsprinzipe genannt werden.

Differentialprinzipe sind das Prinzip der virtuellen Arbeit, das d\'Alembertsche Prinzip, das dem d\'Alembertschen Prinzip gleichwertige Gausssche Prinzip (welches der Gaussschen Methode der kleinsten Quadrate nachgebildet ist und besagt, dass die wirkliche Bewegung eines Systems so erfolgt, dass der als Zwang definierte Ausdruck  zu jeder Zeit ein Minimum bzgl.  hat) sowie das aus ihm abgeleitete Hertzsche Prinzip der geraden Bahn: Im Fall kräftefreier Systeme ergibt sich unter der Annahme, dass alle Massen Vielfache einer Einheitsmasse sind, für den Zwang ; geht man zu verallgemeinerten Koordinaten q_j über (j = 1, ..., f, f: Anzahl der Freiheitsgrade), so ergibt sich für die kinetische Energie, die im vorliegenden Fall mit der Gesamtenergie übereinstimmt,  Man kann daher in dem von den q_j aufgespannten Lageraum gemäss  eine Riemannsche Massbestimmung einführen, und nach Division von Z durch 2T ergibt sich Mechanik">, wobei K das Quadrat der Krümmung der Bahnkurve im Lageraum ist. Nach dem Gaussschen Prinzip gilt , d.h. die wirklichen Bahnen sind Kurven kleinster Krümmung. Die Hertzsche Form der Mechanik hat die weitere Entwicklung der Mechanik nicht nennenswert beeinflusst, was z.T. an der komplizierten Ersetzung der Kräfte durch Kopplungen und der notwendigen Annahme bzgl. der Massen lag.

Integralprinzipe sind das Hamiltonsche Prinzip, das Maupertuissche Prinzip (Prinzip der kleinsten Wirkung) und das vor allem in der Optik angewandte Fermatsche Prinzip.

Die Prinzipe der Mechanik sind der Aussage der Newtonschen Axiome äquivalent, haben aber im allgemeinen den Vorteil, dass sie gleich mit Hilfe der verallgemeinerten Koordinaten formuliert werden können und daher häufig schneller zum Ziel führen als jene. Eng verknüpft mit den Prinzipen sind die allgemeinen Bewegungsgleichungen mechanischer Systeme: Lagrange-Gleichungen, Hamiltonsche kanonische Gleichungen (Analytische Mechanik), Hamilton-Jacobische Differentialgleichung.