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Clusterdimension

verallgemeinerter Dimensionsbegriff der Perkolationstheorie für Cluster. Es sei N(L) die mittlere Anzahl der Punkte in einem unendlichen Cluster, deren Abstand von einem gegebenen Clusterpunkt (über den gemittelt wird) kleiner oder gleich L ist; dann bezeichnet man

Clusterdimension

als die Clusterdimension. Da D nicht notwendigerweise ganzzahlig sein muss, spricht man auch von einer fraktalen Dimension. Asymptotisch gilt für die Anzahl der Punkte ein Skalengesetz der Form Clusterdimension. Bezeichnet L den intrinsischen Abstand (d.h. die Länge des chemischen Weges) zwischen zwei Punkten auf einem Cluster, so ist D die intrinsische Clusterdimension. Bezieht sich L auf den Abstand zweier Punkte im einbettenden Raum oder Gitter (d.h. auf den extrinsischen Abstand), so nennt man D die extrinsische Clusterdimension.

In einem Ensemble von Clustern bzw. einer Clusterkonfiguration ist ein anderer Zugang zur Definition einer fraktalen Clusterdimension oft verbreiteter: Es sei R ein Mass für die lineare Ausdehnung eines einzelnen Clusters, beispielsweise den Gyrationsradius, und Rs bezeichne den Mittelwert von R über alle Cluster der Grösse s in dem Ensemble. Falls für grosse Werte von s ein Potenzgesetz der Form Clusterdimension gilt, so bezeichnet man mit D die fraktale Dimension der Cluster in dem betreffenden Ensemble. Diese zweite Definition hat den Vorteil, dass sie auch auf Clusterkonfigurationen unterhalb der Perkolationsschwelle bzw. auf die endlichen Cluster oberhalb der Perkolationsschwelle angewandt werden kann.

 

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