Techniklexikon

Eulersche Gleichungen

StrömungsmechanikKlassische Mechanik, 1) Mechanik: Eulersche Kreiselgleichungen, drei gekoppelte Differentialgleichungen, welche die Bewegung eines Kreisels in einem Koordinatensystem beschreiben, dessen Achsen mit den Hauptträgheitsachsen des Kreisels zusammenfallen. Wird ein Kreisel im Punkt P festgehalten und sind L und M der Drehimpuls bzw. das Drehmoment bezüglich P in einem raumfesten Koordinatensystem K, dessen Ursprung in P liegt, so gilt der Drehimpulssatz: dL / dt = M. Bezeichnet T den Trägheitstensor des Kreisels, so gilt weiterhin L = TW = WT, wobei W die Winkelgeschwindigkeit des Kreisels ist und das zweite Gleichheitszeichen aus der Symmetrie des Trägheitstensors folgt. Beachtet man, dass allgemein  gilt, wobei die Summe über alle Teilchen des starren Körpers zu nehmen ist, so erhält man durch Ableiten nach der Zeit . Diese Differentialgleichung für W (und damit für die momentane Drehachse) gilt als Vektorgleichung in jedem beliebigen Koordinatensystem. Wählt man ein mit dem Kreisel verbundenes Koordinatensystem, dessen Achsen mit den Hauptträgheitsachsen zusammenfallen und dessen Ursprung in P liegt, so ergeben sich die Eulerschen Gleichungen:
 

Führt man die Eulerschen Winkel e_1,2,3 ein, so gilt

Diese Ausdrücke kann man in die Eulerschen Gleichungen einsetzen und erhält daraus drei nichtlineare, gekoppelte Differentialgleichungen für die Eulerschen Winkel, die sich nur in Ausnahmefällen exakt lösen lassen.

2) Hydrodynamik: Gleichungssystem, welches die Dynamik einer idealen Flüssigkeit (Flüssigkeit, ideale) beschreibt:

Darin bedeuten  v _x,  v _y und  v _z die Geschwindigkeitskomponenten eines Flüssigkeitsteilchens in x-, y-, oder z-Richtung, d / dt ist die totale Ableitung nach der Zeit, r die als konstant angenommene Dichte der Flüssigkeit, F_x, F_y und F_z die Beschleunigungskomponenten der Masseteilchen durch die Massenkraft und p der Druck in der Flüssigkeit.

Die Eulerschen Gleichungen bilden die Grundlage der Hydrodynamik der idealen Flüssigkeiten. Durch Integration lässt sich aus ihnen die Bernoullische Gleichung gewinnen. Sie bilden mit der Kontinuitätsgleichung ein System von vier Differentialgleichungen für die vier Unbekannten  v _x,  v _y,  v _z und p. [CF, CP]