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Integrabilitätskriterien

Kriterien für die Lösbarkeit eines physikalischen Modells. Der Lösbarkeitsbegriff wie auch die Integrabilitätskriterien hängen im allgemeinen von der Art des Problems ab. In der klassischen Mechanik bezeichnet man eine Hamilton-Funktion H auf einem 2n-dimensionalen Phasenraum als integrabel, wenn es mindestens n fast überall unabhängige Funktionen Fi (i = 1, ..., n und o.B.d.A. F1 = H) gibt, die in Involution stehen. In diesem Fall lassen sich Wirkungs- und Winkelvariablen einführen, so dass die Integralkurven zum Hamiltonschen Vektorfeld auf einem n-dimensionalen Torus (möglicherweise mit unendlichem Radius für einige Richtungen) verlaufen. Das Anfangswertproblem ist in diesem Fall bis auf die Berechnung eines Integrals über bekannte Funktionen lösbar.

Verallgemeinernd gilt in der Feldtheorie ein Hamilton-Funktional als integrabel, wenn es unendlich viele unabhängige in Involution stehende Erhaltungsgrössen gibt. Dieses Kriterium garantiert allerdings nicht, dass die Lösungen der entsprechenden Feldgleichungen geschlossen angegeben werden können. Für integrable eindimensionale nichtlineare Wellengleichungen wird oft die Existenz eines Lax-Paares als Integrabilitätskriterium angesehen, da die inverse Streumethode ein Verfahren zur Lösung des Anfangswertproblems an die Hand gibt.

In der Quantenmechanik bzw. Quantenfeldtheorie betrachtet man im allgemeinen eine Theorie als gelöst, wenn sich das Spektrum des Hamilton-Operators bzw. die zugehörigen Eigenfunktionen geschlossen angeben lassen. Hier hat sich die Anwendbarkeit des Bethe-Ansatzes für (1+1)-dimensionale Quantensysteme als nützliches Integrabilitätskriterium erwiesen. In engem Zusammenhang steht wiederum die Existenz eines Lax-Paares und die Anwendbarkeit der Quanten-Inversen-Streumethode. Auch die Gültigkeit einer Yang-Baxter-Gleichung für die Streudaten wird oft als Integrabilitätskriterium angesehen.

In der Statistischen Mechanik von Gleichgewichtssystemen versteht man unter der Lösbarkeit meist die exakte Berechenbarkeit der freien Energiedichte. Nur in seltenen Fällen lassen sich beliebige Korrelationsfunktionen geschlossen angeben. Für zweidimensionale Gittermodelle hat sich die Existenz einer Yang-Baxter-Gleichung für bestimmte Komponenten einer verallgemeinerten Transfermatrix als sinnvolles Integrabilitätskriterium erwiesen. (Integrable Modelle der Physik)

 

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