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inverse Streumethode

Verfahren zur Lösung des Anfangswertproblems bestimmter nichtlinearer Feldgleichungen in einer Raumdimension. Entwickelt wurde dieses Verfahren in den 60er Jahren von Gardner, Greene, Kruskal und Miura im Zusammenhang mit ihren Untersuchungen der Korteweg-de-Vries-Gleichung (KdV-Gleichung). Aufgrund numerischer Anhaltspunkte fanden sie heraus, dass das Spektrum des Schrödinger-Operators inverse Streumethode zur Beschreibung der Streuung an einem Potential u(x,t) nicht von t abhängt, wenn u(x,t) Lösung der KdV-Gleichung ist. Das Spektrum bildet somit für die KdV-Gleichung unendlich viele Erhaltungsgrössen, weshalb man in diesem Zusammenhang auch von isospektraler Deformation spricht.

Allgemein lässt sich die inverse Streumethode folgendermassen beschreiben: Zu bestimmten integrablen Feldgleichungen für Funktionen u(x,t) (die auch mehrkomponentig sein können) lassen sich lineare Streuprobleme formulieren, in denen u(x,t) als Streupotential auftritt. Genau dann, wenn u(x,t) Lösung der nichtlinearen Feldgleichung ist, sind die Gleichungen für die t-Entwicklung der Streudaten linear und somit leicht lösbar. Konkret transformiert man von einer Anfangskonfiguration u(x,0) auf die Streudaten R(x,0) mit Spektralparameter x, löst für die Streudaten die Zeitentwicklung und transformiert diese zeitentwickelten Streudaten, R(x,t), mit Hilfe einer Gel'fand-Levitan-Integralgleichung (inverse Streutheorie) auf das Potential u(x,t) zurück.

Die Existenz eines Streuproblems mit linearer Zeitentwicklung der Streudaten hängt eng mit der Existenz einer Lax-Darstellung (Lax-Paar) der nichtlinearen Differentialgleichung zusammen. Heute kennt man viele weitere Modelle, die mit dieser Methode gelöst werden können, beispielsweise die Sinus-Gordon-Theorie, die nichtlineare Schrödinger-Gleichung, das Toda-Gitter, sowie weitere n-Teilchenprobleme und Verallgemeinerungen dieser Gleichungen (integrable Modelle der Physik).

Insbesondere von Fadejew, Sklyanin und Takhtajan wurde die inverse Streumethode zur Quantisierung nichtlinearer Feldgleichungen verallgemeinert (Quanten-Inverse-Streumethode). Die Streudaten werden in diesem Fall zu Operatoren, aus denen sich einerseits unendlich viele Erhaltungsgrössen ableiten lassen, andererseits aber auch Auf- und Absteigeoperatoren zu Eigenzuständen des Hamilton-Operators konstruieren lassen. Diese Eigenzustände entsprechen im allgemeinen einem Bethe-Ansatz für die jeweiligen Modelle.

 

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