Techniklexikon

kanonische Formen

Differentialformen, die im Zusammenhang mit mechanischen Systemen auftreten. Der Konfigurationsraum eines solchen Systems ist im allgemeinen eine Mannigfaltigkeit Q. Der Phasenraum G kann dann identifiziert werden mit dem Kotangentialbündel , (Tangentialbündel). Auf G gibt es eine kanonische 1-Form , wobei die qⁱ lokale Koordinaten auf Q und die p_i die zugehörigen kanonischen Impulse sind. Ihre äussere Ableitung liefert die kanonische 2-Form oder symplektische Form . Die kanonischen Formen bilden die Grundlage der Hamiltonschen Mechanik (Analytische Mechanik). Jeder glatten Funktion F auf dem Phasenraum wird mittels  ein Vektorfeld X_F zugeordnet, das zu F gehörende Hamiltonsche Vektorfeld. Ist insbesondere eine Hamilton-Funktion H auf dem Phasenraum ausgezeichnet, so sind die Integralkurven von X_F die Trajektorien im Phasenraum, also die Lösungen der Hamiltonschen Gleichungen (Analytische Mechanik). Die symplektische Form w definiert insbesondere auch die Poisson-Klammern. Die bei der Behandlung mechanischer Probleme wichtigen kanonischen Transformationen sind die Diffeomorphismen f des Phasenraumes, die die symplektische Form invariant lassen,  (Pullback).