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kanonische Formen

Differentialformen, die im Zusammenhang mit mechanischen Systemen auftreten. Der Konfigurationsraum eines solchen Systems ist im allgemeinen eine Mannigfaltigkeit Q. Der Phasenraum G kann dann identifiziert werden mit dem Kotangentialbündel kanonische Formen, (Tangentialbündel). Auf G gibt es eine kanonische 1-Form kanonische Formen, wobei die qi lokale Koordinaten auf Q und die pi die zugehörigen kanonischen Impulse sind. Ihre äussere Ableitung liefert die kanonische 2-Form oder symplektische Form kanonische Formen. Die kanonischen Formen bilden die Grundlage der Hamiltonschen Mechanik (Analytische Mechanik). Jeder glatten Funktion F auf dem Phasenraum wird mittels kanonische Formen ein Vektorfeld XF zugeordnet, das zu F gehörende Hamiltonsche Vektorfeld. Ist insbesondere eine Hamilton-Funktion H auf dem Phasenraum ausgezeichnet, so sind die Integralkurven von XF die Trajektorien im Phasenraum, also die Lösungen der Hamiltonschen Gleichungen (Analytische Mechanik). Die symplektische Form w definiert insbesondere auch die Poisson-Klammern. Die bei der Behandlung mechanischer Probleme wichtigen kanonischen Transformationen sind die Diffeomorphismen f des Phasenraumes, die die symplektische Form invariant lassen, kanonische Formen (Pullback).

 

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