Techniklexikon

Schwarzschild-Lösung

Relativitätstheorie und Gravitation^[n], Schwarzschild-Metrik, Lösung der Einstein-Gleichungen für eine kugelsymmetrische, statische Materieverteilung. Aus der Kugelsymmetrie folgt, dass sich in geeigneten Koordinaten die Metrik in folgende Form bringen lässt:

Dabei sind  und  beliebige, durch die Feldgleichungen zu bestimmende Funktionen von . Die Feldgleichungen ausserhalb der Materiekugel lauten:

wobei  der Ricci-Tensor ist (Vakuumlösung). Daraus und aus den Randbedingungen

(fernab der Materiekugel soll die Raumzeit flach sein) folgt:

Dabei wird die Integrationskonstante , auch Schwarzschild-Radius genannt, durch die Bedingung bestimmt, dass in grossem Abstand von der Masse der Newtonsche Limes gelten muss. Es zeigt sich, dass die Grösse  tatsächlich als Materiemenge der felderzeugenden Masse interpretiert werden kann.

Bestimmt man mit Hilfe der so erhaltenen Schwarzschild-Metrik unter Verwendung der Geodätengleichung (Geodäte) die Bahnkurven von Planeten oder Photonen im Gravitationsfeld der Sonne, so ergeben sich zwei der drei klassischen Tests der Allgemeinen Relativitätstheorie: die Periheldrehung und die Lichtablenkung.

Man kann zeigen, dass die Schwarzschild-Lösung auch gilt, falls die kugelsymmetrische Materieverteilung nicht-statisch ist. Daraus folgt unmittelbar das Birkhoff-Theorem: Ein sphärisch-symmetrisches Gravitationsfeld ist im Vakuum (also ausserhalb der möglicherweise pulsierenden Materie) notwendig statisch und wird durch die Schwarzschild-Metrik beschrieben.