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Schwarzschild-Lösung

Relativitätstheorie und Gravitation[n], Schwarzschild-Metrik, Lösung der Einstein-Gleichungen für eine kugelsymmetrische, statische Materieverteilung. Aus der Kugelsymmetrie folgt, dass sich in geeigneten Koordinaten die Metrik in folgende Form bringen lässt:

Schwarzschild-Lösung

Dabei sind Schwarzschild-Lösung und Schwarzschild-Lösung beliebige, durch die Feldgleichungen zu bestimmende Funktionen von Schwarzschild-Lösung. Die Feldgleichungen ausserhalb der Materiekugel lauten:

Schwarzschild-Lösung

wobei Schwarzschild-Lösung der Ricci-Tensor ist (Vakuumlösung). Daraus und aus den Randbedingungen

Schwarzschild-Lösung

(fernab der Materiekugel soll die Raumzeit flach sein) folgt:

Schwarzschild-Lösung

Dabei wird die Integrationskonstante Schwarzschild-Lösung, auch Schwarzschild-Radius genannt, durch die Bedingung bestimmt, dass in grossem Abstand von der Masse der Newtonsche Limes gelten muss. Es zeigt sich, dass die Grösse Schwarzschild-Lösung tatsächlich als Materiemenge der felderzeugenden Masse interpretiert werden kann.

Bestimmt man mit Hilfe der so erhaltenen Schwarzschild-Metrik unter Verwendung der Geodätengleichung (Geodäte) die Bahnkurven von Planeten oder Photonen im Gravitationsfeld der Sonne, so ergeben sich zwei der drei klassischen Tests der Allgemeinen Relativitätstheorie: die Periheldrehung und die Lichtablenkung.

Man kann zeigen, dass die Schwarzschild-Lösung auch gilt, falls die kugelsymmetrische Materieverteilung nicht-statisch ist. Daraus folgt unmittelbar das Birkhoff-Theorem: Ein sphärisch-symmetrisches Gravitationsfeld ist im Vakuum (also ausserhalb der möglicherweise pulsierenden Materie) notwendig statisch und wird durch die Schwarzschild-Metrik beschrieben.

 

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