Techniklexikon

Smale-Birkhoff-Theorem

Nichtlineare Dynamik, Chaos, Fraktale, Theorem in der nichtlinearen Dynamik, das eine hinreichende Bedingung für das Auftreten invarianter Cantor-Mengen (Fraktale) bei iterierten Abbildungen nennt und eine Verbindung zur symbolischen Dynamik herstellt. Die invarianten Cantor-Mengen können Teilmengen eines chaotischen Attraktors sein, aber auch als chaotische Repulsoren zu transientem Chaos führen. Für den zweidimensionalen Fall lautet das Theorem wie folgt: Sei  ein Diffeomorphismus mit einem hyperbolischen periodischen Punkt , zu dem ein transversaler homokliner Punkt  gehört. Dann gibt es eine natürliche Zahl , so dass die -fach iterierte Abbildung  eine abgeschlossene invariante Menge  besitzt, die  und  enthält und auf der  topologisch konjugiert zu einer Verschiebung  mit zwei Symbolen ist (symbolische Dynamik).