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Smalesches Hufeisen

Nichtlineare Dynamik, Chaos, Fraktale, spezielle Abbildung in der nichtlinearen Dynamik. Besitzt ein zweidimensionales dynamisches System einen hyperbolischen Fixpunkt, dessen invariante Mannigfaltigkeiten sich in einem transversalen homoklinen Punkt schneiden, so lässt sich die Dynamik in der Nähe der invarianten Mannigfaltigkeiten qualitativ mit Hilfe eines Hufeisens veranschaulichen, das über ein Rechteck gelegt wird. Von dieser typischen Situation ausgehend wurde von S. Smale 1967 eine idealisierte Hufeisen-Abbildung (horseshoe map) des Einheitsquadrats Smalesches Hufeisen auf sich eingeführt, die horizontale Streifen Smalesches Hufeisen und Smalesches Hufeisen auf vertikale Streifen Smalesches Hufeisen und Smalesches Hufeisen abbildet und die Dynamik bei Existenz eines transversalen homoklinen Orbits widerspiegelt. Die invariante Menge Smalesches Hufeisen der Hufeisenabbildung hat in horizontaler und vertikaler Richtung die Struktur einer Cantor-Menge (Fraktale). Zur Beschreibung der Dynamik auf dieser invarianten Menge wird jedem Punkt Smalesches Hufeisen eine unendliche Symbolfolge Smalesches Hufeisen aus zwei Symbolen (hier 0 und 1) zugeordnet. Die resultierende symbolische Dynamik Smalesches Hufeisen besteht aus einer Verschiebung der Symbole innerhalb der Folge.

 

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