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Störungsrechnung

Klassische Mechanik, in der Mechanik ein Näherungsverfahren für Systeme, deren Bewegungsgleichungen sich nicht geschlossen lösen lassen, also nicht in Form elementarer Funktionen – algebraische und trigonometrische Funktionen – sowie elementarer Integrale (»elliptische Integrale«). Das trifft bereits für überraschend einfache Systeme zu, z.B. für das Dreikörperproblem der Himmelsmechanik oder für einen nichtharmonischen Oszillator, bei dem die Rückstellkraft nicht streng proportional zur Auslenkung ist.

Zur näherungsweisen Lösung eines solchen Problems separiert man es in ein ähnliches, lösbares System und eine »Störfunktion«. Im Falle des Dreikörperproblemes der Mondbahn unter Einfluss von Erde und Sonne betrachtet man das Teilsystem Erde-Mond als exakt lösbar und behandelt den Einfluss der Sonne als Störung. Dies ist gerechtfertigt, da die Anziehungskraft der Sonne auf den Mond viel kleiner ist als die der Erde. Weiterhin beobachtet man, dass die Störfunktion in der Himmelsmechanik stets periodisch ist. Als Ansatz für sie kann deshalb eine trigonometrische Reihe gewählt werden, deren Grund- und harmonische Frequenzen der Periodizität der Störung und ihrer Vielfachen entsprechen. Eine andere Methode der astronomischen Störungsrechnung geht von den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen aus, die in Wirkungs- und Winkelvariablen ausgedrückt werden. Bei der ungestörten Keplerbewegung im Zweikörpersystem sind zwei der drei Winkelvariablen konstant, die gestörte Bahnbewegung lässt sich durch eine langsame, periodische Variation dieser Variablen darstellen.

Die mechanische Störungsrechnung hatte ihre Blüte zwischen etwa 1830 und 1930. Ab 1820 wurde aus astronomischen Beobachtungen klar, dass der 1781 entdeckte Planet Uranus nicht der Bahn folgte, die man anfangs aus seinen Bahnelementen vorherberechnet hatte. Leverrier berechnete ab 1844 mittels der Störungsrechnung die Bahnelemente eines mutmasslichen Planeten, der die Bahnabweichungen des Uranus erklären konnte. Nach seinen Angaben konnte der Potsdamer Astronom Galle ihn 1846 in nur einem Bogengrad Abstand von der berechneten Position beobachten. Nach einigen Tagen stand fest, dass der neue Himmelskörper sich tatsächlich bewegte, er wurde Neptun getauft. Im nachhinein fand man, dass der Planet bereits von Galilei im 17. Jh. und von Lalande um 1797 gesehen worden war, sie hatten jedoch seine wahre Natur nicht erkannt. Der letzte Planet Pluto wurde auf ähliche Weise entdeckt: Anfang des 20. Jh. berechneten Lowell und Pickering die Bahn eines Planeten, der die letzten noch übriggebliebenen Bahnanomalien von Uranus und Neptun verursachen könnte. Auf Grund seiner ausserordentlichen Kleinheit wurde er erst Jahrzehnte später mit einer neuen Himmelskamera am Lowell-Observatorium in Arizona entdeckt.

In der Zwischenzeit spielte die Störungstheorie der Himmelsmechanik noch eine wichtige Rolle in einem ganz anderen Gebiet, der Atomtheorie. Berechnungen im Rahmen des Bohrschen Atommodells beruhen auf der Methode der Wirkungs- und Winkelvariablen, und Bohr und Sommerfeld versuchten, komplexe Atome wie das Heliumatom mit Hilfe der (mechanischen) Störungstheorie zu beschreiben. Dies führte nicht zum gewünschten Erfolg; ihn lieferte erst die Quantenmechanik.

 

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