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Tensoralgebra

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Formalismus, der beschreibt, welche algebraischen Operationen beim Umgang mit Tensoren in welcher Weise möglich sind. Hierzu gehören die Summation von Tensoren (sie erfolgt komponentenweise und ist kommutativ), die Multiplikation mit Skalaren, Vektoren und Tensoren, die Verjüngung und Überschiebung von Tensoren sowie das Transformationsverhalten von Tensoren. Diese folgen den Regeln der linearen Algebra; aus historischen Gründen liegt der Tensoralgebra noch ein eigentümlicher Formalismus zugrunde, der hier kurz beleuchtet werden soll.

Zunächst seien Tensoren 1. Stufe, d.h. Vektoren, betrachtet. Sei in einem Tensoralgebra-dimensionalen euklidischen Vektorraum eine Basis Tensoralgebra mit Tensoralgebra Basisvektoren Tensoralgebra gegeben. Ein beliebiger Vektor Tensoralgebra besitzt dann gemäss der Eigenschaften eines Vektorraums die Darstellung Tensoralgebra, wobei nach den Regeln der Tensoralgebra die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wird. Der Betrag des Vektors ergibt sich zu Tensoralgebra, wobei die Metrikkoeffizienten Tensoralgebra später als Metriktensor Tensoralgebra bezeichnet werden. Neben der bisher betrachteten Basis Tensoralgebra, die in der Tensoralgebra auch kovariante Basis genannt wird, wird vermöge der Skalarprodukt-Beziehung Tensoralgebra mit Kroneckersymbol Tensoralgebra die kontravariante Basis Tensoralgebra eingeführt. Schreibt man die Basisvektoren Tensoralgebra als Spalten einer Matrix Tensoralgebra, so ist die Matrix Tensoralgebra der kontravarianten Basis also durch die Bedingung Tensoralgebra gegeben, also Tensoralgebra bzw. Tensoralgebra und Tensoralgebra, wobei sich die Matrix Tensoralgebra der kontravarianten Metrikkoeffizienten ebenfalls als inverse Matrix von Tensoralgebra ergibt. Der oben betrachtete Vektor Tensoralgebra lässt sich nun sowohl bezüglich der kovarianten als auch der kontravarianten Basis darstellen: Tensoralgebra, wobei die Tensoralgebra die kovarianten und die Tensoralgebra die kontravarianten Komponenten des Vektors Tensoralgebra genannt werden. Zu den Basisoperationen der Tensoralgebra gehören das Heraufziehen des Index (Beispiel: Tensoralgebra) und Herunterziehen des Index (Beispiel: Tensoralgebra). Geht man nun mit Hilfe einer linearen Transformation Tensoralgebra von einer bestimmten kovarianten Basis Tensoralgebra zu einer anderen kovarianten Basis Tensoralgebra (bzw.: Tensoralgebra) über, so wird der umgekehrte Übergang von Tensoralgebra nach Tensoralgebra gerade durch die inverse Transformationsmatrix Tensoralgebra vollzogen. Ein Vektor Tensoralgebra bzw. jeder Tensor 1. Stufe transformiert sich wie die Basis, d.h. Tensoralgebra; derartiges Transformationsverhalten heisst kogredient. Kovariante und kontravariante Koeffizienten kontrahieren sich dagegen kontragredient zueinander.

Das einfachste Beispiel eines Tensors 2. Stufe lässt sich aus dem dyadischen Produkt Tensoralgebra zweier Vektoren ableiten, wobei Tensoralgebra die kontravarianten, Tensoralgebra die kovarianten, Tensoralgebra und Tensoralgebra die gemischt kovariant-kontravariante Komponenten genannt werden und Tensoralgebra die kovariante, Tensoralgebra die kontravariante und Tensoralgebra und Tensoralgebra gemischte Basen darstellen. Für dyadische Produkte gelten ferner das Distributivgesetz Tensoralgebra und das Assoziativgesetz Tensoralgebra. Das Transformationsverhalten eines Tensors 2. Stufe ist durch Tensoralgebra bzw. Tensoralgebra charakterisiert, wobei Tensoralgebra die Koeffizienten der inversen Transformationsmatrix Tensoralgebra bezeichnet. Durch Multiplikation mit den Metrikkoeffizienten können Indizes herunter- und heraufgezogen werden, z.B.

Tensoralgebra

Die »verjüngende« Multiplikation eines Tensors 2. Stufe Tensoralgebra mit einem Tensor 1. Stufe Tensoralgebra erzeugt mit der Vorschrift

Tensoralgebra

einen neuen Vektor, ebenso wie die verjüngende Multiplikation von links gemäss

Tensoralgebra

erfolgt.

Ein Tensor Tensoralgebra-ter Stufe lässt sich definieren als Grösse, deren Basis ein tensorielles Produkt von Tensoralgebra Grundvektoren, also

Tensoralgebra

ist; entsprechend gibt es Tensoralgebra Arten von Komponenten: rein kovariante, rein kontravariante und Tensoralgebra Arten gemischter Komponenten. Die Behandlung derartiger Tensoren folgt der allgemeinen Transformationsregel, dass für jeden kovarianten bzw. kontravarianten Index dieselben Transformationsregeln wie für die kovarianten bzw. kontravarianten Komponenten eines Tensors 1. Stufe gelten.

Anders als das verjüngende Produkt ergibt das tensorielle Produkt zweier Tensoren Tensoralgebra und Tensoralgebra einen Tensor Tensoralgebra Tensoralgebra-ter Stufe; es ist assoziativ, jedoch nicht kommutativ. Beispiel:

Tensoralgebra

 

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