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BBGKY-Hierarchie

von Bogoljubow, Born, Green, Kirkwood und Yvon 1935 bis 1947 weitgehend unabhängig voneinander aufgestellte Gleichungskette für Verteilungsfunktionen, die sich aus der Liouville-Gleichung für die N-Teilchen-Verteilungsfunktion fN im G-Raum (Phasenraum) durch Reduktion, d.h. Integration über die höchsten (N - s) Orts- und Impulskoordinaten herleitet. N ist die Gesamtteilchenzahl des Systems, s ist irgendeine natürliche Zahl kleiner als N. Die BBGKY-Hierarchie ist dadurch charakterisiert, dass in der Gleichung für die s-Teilchen-Verteilungsfunktion BBGKY-Hierarchie stets auch ein Integral über die nächsthöhere Verteilungsfunktion fs + 1 vorkommt. fs hängt ab von der Zeit t, den Orten ri und den dazu kanonisch konjugierten Impulsen pi. Die Kopplung zwischen fs und fs + 1 wird durch die Wechselwirkung zwischen den Teilchen bewirkt. Die Gesamtheit der Gleichungen der BBGKY-Hierarchie ist der Liouville-Gleichung äquivalent, insbesondere sind die Gleichungen der BBGKY-Hierarchie zeitlich reversibel.

Mathematisch handelt es sich bei der BBGKY-Hierarchie um ein System von Integrodifferentialgleichungen, das schon wegen der sehr hohen Zahl N unlösbar ist. Von praktischem Interesse sind allerdings auch nur die niederen Verteilungsfunktionen, also im wesentlichen die Einteilchen-Verteilungsfunktion f1 und die Zweiteilchen-Verteilungsfunktion f2. Unter der Annahme, dass die Wechselwirkung der Teilchen untereinander gering ist, erreicht man einen Abbruch der BBGKY-Hierarchie nach der Gleichung für f2. Diese Näherung liefert die wichtigsten kinetischen Gleichungen für Gase und Plasmen, also die Wlassow-Gleichung, die Boltzmann-Gleichung, die Fokker-Planck-Gleichung und die Balescu-Lenard-Gleichung. Auch die kinetische Theorie der Flüssigkeiten basiert auf der BBGKY-Hierarchie. Das quantenstatistische Analogon zur BBGKY-Hierarchie ist die Methode der thermodynamischen Greenschen Funktionen.

 

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