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Dirac-Spinoren

Quantenmechanik, die vierkomponentigen Elemente der Darstellung Dirac-Spinoren der Lorentz-Gruppe SO(1;3). (Darstellung einer Gruppe)

Die allgemeinste Darstellung der Lorentz-Gruppe wird von dem Operator Dirac-Spinoren generiert, wobeiDirac-Spinoren der Bahn-Drehimpuls-, Dirac-Spinoren der Spinoperator ist und die Mmn die Vertauschungsrelationen

Dirac-Spinoren

erfüllen (g: Minkowski-Metrik). Die Dirac-Spinoren-Generatoren können durch die Einführung von Dirac-Spinoren auf zwei Subalgebren aufgeteilt werden, wobei die lateinischen Buchstaben nur räumliche Richtungen bezeichnen und eijk das Levi-Civita-Symbol ist. Nun entmischen die Algebren von Dirac-Spinoren und Dirac-Spinoren, so dass zwei Gruppen vom Typ SU(2) das Lorentz-Transformationsverhalten bezeichnen. Je nach den Eigenwerten der Casimir-Operatoren Dirac-Spinoren und Dirac-Spinoren werden die Darstellungen der Lorentz-Gruppe klassifiziert.

Die triviale Darstellung (0; 0) beschreibt ein skalares Feld, die Darstellungen (1/2; 0) und (0; 1/2) linkshändige bzw. rechtshändige Spinoren (Weyl-Spinoren). Physikalisch beschreiben beide Darstellungen Zustände mit zwei Möglichkeiten: "Spin oben" und "Spin unten". Wenn aber auch nach der Parität der Zustände unterschieden werden soll, muss die Linearkombination Dirac-Spinoren benutzt werden. Die vierkomponentigen Elemente dieser Darstellung sind die Dirac-Spinoren.

 

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