Techniklexikon

Dirac-Spinoren

Quantenmechanik, die vierkomponentigen Elemente der Darstellung  der Lorentz-Gruppe SO(1;3). (Darstellung einer Gruppe)

Die allgemeinste Darstellung der Lorentz-Gruppe wird von dem Operator  generiert, wobei der Bahn-Drehimpuls-,  der Spinoperator ist und die M_mn die Vertauschungsrelationen

erfüllen (g: Minkowski-Metrik). Die -Generatoren können durch die Einführung von  auf zwei Subalgebren aufgeteilt werden, wobei die lateinischen Buchstaben nur räumliche Richtungen bezeichnen und e_ijk das Levi-Civita-Symbol ist. Nun entmischen die Algebren von  und , so dass zwei Gruppen vom Typ SU(2) das Lorentz-Transformationsverhalten bezeichnen. Je nach den Eigenwerten der Casimir-Operatoren  und  werden die Darstellungen der Lorentz-Gruppe klassifiziert.

Die triviale Darstellung (0; 0) beschreibt ein skalares Feld, die Darstellungen (1/2; 0) und (0; 1/2) linkshändige bzw. rechtshändige Spinoren (Weyl-Spinoren). Physikalisch beschreiben beide Darstellungen Zustände mit zwei Möglichkeiten: "Spin oben" und "Spin unten". Wenn aber auch nach der Parität der Zustände unterschieden werden soll, muss die Linearkombination  benutzt werden. Die vierkomponentigen Elemente dieser Darstellung sind die Dirac-Spinoren.