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Zweikörperproblem

Klassische Mechanik, Problem der Bewegung zweier Massenpunkte m1 und m2 unter dem alleinigen Einfluss ihrer gegenseitigen Wechselwirkung. Man legt zweckmässigerweise den Ursprung des Koordinatensystems in den Schwerpunkt und separiert die Relativbewegung von der Schwerpunktsbewegung. Das Problem reduziert sich damit auf die Bewegung eines einzigen, fiktiven Körpers mit der reduzierten Masse des Systems, mit dem Ortsvektor r = r1 - r2 der Relativbewegung der Massenpunkte (siehe Abb.) und unter Einfluss der auf den Körper 1 wirkenden Kraft Zweikörperproblem. Für Kräfte, die nur vom gegenseitigen Abstand der Körper abhängen, vereinfacht sich die Bewegung auf die eines Teilchens im kugelsymmetrischen Zentralfeld, in dem Drehimpulserhaltungssatz und Energiesatz gelten. Ein Beispiel ist das Zweikörperproblem der Himmelsmechanik, die auch Kepler-Problem genannte Bestimmung der Planetenbewegung, dessen Lösung erstmals in guter Näherung durch die Keplerschen Gesetze aus Beobachtungsmaterial bestimmt wurde. Ähnlich kann die Coulomb-Kraft, d.h. die elektrostatische Anziehung zweier Ladungen, behandelt werden. Da diese Kraft die gleiche räumliche Abhängigkeit wie die Newtonsche Massenanziehung hat, sind die dabei auftretenden Bahnkurven ebenfalls Kegelschnitte; man spricht daher bei der Bestimmung der Bewegungen des Elektrons im Wasserstoffatom vom Kepler-Problem der Atomphysik, wobei allerdings zusätzlich die Quanteneigenschaften dieser Bewegung zu berücksichtigen sind. In beiden Fällen entspricht die zeitliche Änderung des Relativvektors r einer Zentralbewegung.

Das Zweikörperproblem der Allgemeinen Relativitätstheorie ist nicht in geschlossener Form lösbar. In erster Näherung ergibt sich die Kepler-Bewegung der Newtonschen Mechanik, in zweiter Näherung folgt eine Drehung der grossen Halbachse der Ellipsenbahnen der Himmelskörper (Periheldrehung).

Zweikörperproblem

Zweikörperproblem: Die Schwerpunktsbewegung lässt sich von der Relativbewegung (oben) separieren, wenn man den Ursprung O des Koordinatensystems in den Schwerpunkt S legt (unten).

 

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