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Diracsche Theorie des Elektrons

Quantenmechanik, Beschreibung der Bewegung relativistischer geladener Fermionen in einem elektromagnetischen Feld auf der Basis der Dirac-Gleichung. Die freie Dirac-Gleichung, die die freie Bewegung von Elektronen und Positronen beschreibt, kann zu diesem Zweck durch die sog. minimale Kopplung leicht erweitert werden. Dabei wird der Impulsoperator pm gemäss Diracsche Theorie des Elektrons ersetzt (Am: Viererpotential des elektromagnetischen Feldes); dies entspricht der Ersetzung der normalen Ableitung m durch die kovariante Ableitung Diracsche Theorie des Elektrons. Damit lautet die Dirac-Gleichung mit äusserer Quelle

Diracsche Theorie des Elektrons

Führt man nun durch Diracsche Theorie des Elektrons, wobei die Matrix C durch Diracsche Theorie des Elektrons mit Diracsche Theorie des Elektrons und Diracsche Theorie des Elektrons definiert ist (der Index T bedeutet den transponierten Spinor bzw. die transponierte Matrix), den ladungskonjugierten Spinor yC ein, so genügt dieser der Gleichung

Diracsche Theorie des Elektrons

und beschreibt daher Teilchen der Masse m und der Ladung  - e. Der elektrische Strom jm kann nun in einfacher Weise relativistisch kovariant

Diracsche Theorie des Elektrons

geschrieben werden.

Mit diesem Ansatz kann die Bewegung von Elektronen in einem äusseren Potential, z.B. im Wasserstoffatom, unter Berücksichtigung relativistischer und vom Spin hervorgerufener Effekte beschrieben werden (Feinstruktur); im nichtrelativistischen Grenzfall Diracsche Theorie des Elektrons geht die Dirac-Gleichung mit elektromagnetischem Wechselwirkungsterm in die Pauli-Gleichung über: Führt man gemäss

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die Zweierspinoren c und h ein und benutzt die Diracsche Darstellung der g-Matrizen, so folgt die Dirac-Gleichung in der Form

Diracsche Theorie des Elektrons,

d.h. als System von zwei gekoppelten Differentialgleichungen für c und h.

Für kleine Energien ist Diracsche Theorie des Elektrons, Diracsche Theorie des Elektrons und Diracsche Theorie des Elektrons. Es ist daher wegen v/c << 1 auch h << c, für c ergibt sich Diracsche Theorie des Elektrons. Bei Anwesenheit eines äusseren Feldes ist Diracsche Theorie des Elektrons zu setzen, und es folgt mit Diracsche Theorie des Elektrons die Pauli-Gleichung

Diracsche Theorie des Elektrons

wobei H das äussere Magnetfeld, Diracsche Theorie des Elektrons das (innere) magnetische Moment des Elektrons ist, das erst in der Quantenelektrodynamik durch Korrekturterme höherer Ordnung ergänzt wird (anomales magnetisches Moment). Aus höheren relativistischen Korrekturen ergibt sich u.a. die Spin-Bahn-Wechselwirkung Diracsche Theorie des Elektrons

Der grösste Erfolg der Theorie ist jedoch die Berechnung relativistischer Korrekturen beim Spektrum des Wasserstoffatoms:

Diracsche Theorie des Elektrons

mit

Diracsche Theorie des Elektrons

Im Wasserstoffatom (Z = 1) bedeutet dies eine Aufspaltung der nichtrelativistisch noch entarteten Energieniveaus (Feinstruktur), z.B. E(2P3/2) - E(2P1/2) = 4,53 × 10 - 4 eV. Eine Katastrophe passiert jedoch ab Z = 137: d1/2 wird imaginär. Diese mathematische Besonderheit hängt damit zusammen, dass in starken Feldern Elektron-Positron-Paare erzeugt werden. [TB2]

 

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