Techniklexikon

Gaussscher Satz

Mathematische Methoden und ComputereinsatzElektrodynamik und Elektrotechnik, Flussregel, Gausssches Gesetz,

1) Mathematik: Gaussscher Integralsatz, Satz von Gauss-Ostrogradski, von C.F Gauss gefundener Integralsatz über ein beliebiges stetiges und an der Oberfläche A eines Volumens V differenzierbares Vektorfeld F, für das gilt:

(dA = ndA: Flächenelement mit dem Normalenvektor n), F_n: Normalkomponente von F). Das Gausssche Gesetz überführt also ein Volumenintegral über die Divergenz eines Vektors in ein Oberflächenintegral über den Vektor selbst. Die rechte Seite der Gleichung wird auch als Fluss F des Vektorfeldes durch die Fläche A bezeichnet, daher der Name Flussregel (Abb.).

Es gibt auch eine allgemeine Version des Gaussschen Integralsatzes für eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit X mit Rand ¶X und einem Volumenelement e: Für ein Vektorfeld  v  auf X ist die Lie-Ableitung der Volumenform in Richtung  v  wieder eine n-Form und daher gleich dem Produkt von e mit einer Funktion, welche man als die Divergenz von  v  bezüglich e bezeichnet, (div_ev)e := L_ve (Differentialformen). Aus L_ve = d( v   e), folgt der Stokessche Integralsatz:

.

2) Gausssches Gesetz der Elektrostatik: Für die elektrische Feldstärke E gilt speziell:

(e: Dielektrizitätskonstante, Q_innen: Summe der eingeschlossenen elektrischen Ladungen, r: elektrische Raumladungsdichte), der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche ist also proportional zur Summe der eingeschlossenen Ladungen (Abb.). In differentieller Form gilt Ñ · E = r / e, mit dem elektrischen Potential f (E = grad f ) folgt hieraus die Poisson-Gleichung Df = r / e (D = Ñ · Ñ: Laplace-Operator). Das Gausssche Gesetz gilt auch in der Elektrodynamik, es wird dort als erste Maxwellsche Gleichung bezeichnet (Maxwell-Gleichungen).

Gaussscher Satz: Der elektrische Fluss aus einer geschlossenen Fläche ist proportional zur Summe der eingeschlossenen Ladungen.