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Hydrostatik

die Lehre vom Gleichgewicht schwerer Flüssigkeiten und Gase. Da Wasser und Luft grosse Bedeutung für das Leben der Menschen haben, waren viele Gesetzmässigkeiten der Hydrostatik schon im Altertum bekannt (z.B. Archimedisches Prinzip). Ein tieferes Verständnis der Zusammenhänge wurde im siebzehnten Jahrhundert u.a. von Toricelli und Pascal entwickelt. Wichtigster Begriff für das Verständnis der Hydrostatik und Hydrodynamik ist die hydrostatische Spannung, die auch hydrostatischer Druck genannt wird. Bei Flüssigkeiten steht diese überall senkrecht auf der Schnittfläche, auf die sie wirkt (Pascalsches Prinzip), und die Grundaufgabe der Hydrostatik ist also die Bestimmung der Druckverteilung in einer homogenen schweren Flüssigkeit der Dichte r. Der Druck p innerhalb der (inkompressiblen) Flüssigkeit hängt mit der Kraft f bezogen auf die Volumeneinheit der Flüssigkeit über

grad p = f

zusammen. Aus dem Pascalschen Prinzip ergibt sich, dass Gleichgewicht nur dann möglich ist, wenn f ein Potential hat, also selbst als Gradient einer skalaren Funktion U dargestellt werden kann:f = -grad U

Nach Integration erhält man die Gleichgewichtsbeziehungp + U = const.

In vielen Fällen ist U = -rgz das Schwerefeld der Erde (in negativer z-Richtung) und man erhältp - rgz = p0,

wobei die Integrationskonstante p0 den Druck in der Horizontalebenen z = 0 bedeutet. Auch andere Potentiale sind denkbar, so z.B. das Zentrifugalpotential in einer rotierenden Flüssigkeit. Kann die Dichte einer Gasmasse als räumlich konstant angesehen werden, so gelten für diese die Gesetze der Hydrostatik. Wegen der im Vergleich zu Flüssigkeiten hohen Kompressibilität von Gasen kommt es allerdings, bei nach Kilometern zählender Höhenausdehnung einer Gasmasse, durch grosse Druckunterschiede zu merklich verschiedenen Dichten oben und unten. Ein Paradebeispiel ist die uns umgebende Atmosphäre. Die Herleitung von Gesetzmässigkeiten für diesen Fall ist Aufgabe der Aerostatik. Die Beziehung zwischen Druck und Dichte in Gasen bezüglich eines Normalzustandes (p0, r0) ist durch die Polytrope

Hydrostatik

mit Exponent n gegeben. Dieser ist für konstante Temperatur gleich 1 (Boyle-Mariottesches Gesetz). Auch bei Gasen hängt der Druck mit der jetzt auf die Gasmasse bezogenen Kraft fm über

Hydrostatik

zusammen, die im Gleichgewicht ebenfalls ein Potential besitzen muss. Im Potential der Erdschwere U = + gz erhält man ganz analog zu oben, unter Ausnutzung der Polytropie, die Gleichgewichtsbeziehung

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Diese Formel beschreibt den Druckverlauf in einer polytropen Atmosphäre, die im Grenzfall konstanter Temperatur (n = 1) auf die barometrische Höhenformel führt.

 

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