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Pfadintegral

Quantenmechanik, Funktionalintegral, spielt in der Quantenfeldtheorie die Rolle der Partitionssumme, aus der Ausdrücke für die Korrelationen abgeleitet werden können. Historisch ist diese Rechentechnik aus dem Studium des klassischen Diffusionsproblems entstanden: Die Wahrscheinlichkeit des Aufenthaltes eines diffundierenden Teilchens kann durch die Summe der unabhängigen Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Diffusionspfade berechnet werden. Da diese Pfade dicht beieinander liegen, wird im Kontinuum-Limes aus der Summation ein Integral. Das Integrationssmass entsteht ebenfalls als Grenzwert kontinuierlich vieler Integrale (Wiener-Mass).

Da die Green-Funktion des quantenmechanischen Oszillators als Diffusionswahrscheinlichkeit in der imaginären Zeit betrachtet werden kann, können auch quantenmechanische Übergangsamplituden durch Pfadintegrale dargestellt werden. Dadurch können auch die Green-Funktionen der Quantenfeldtheorie aus Pfadintegralen abgeleitet werden, wobei der Pfadintegral-Formalismus einen natürlichen Zugang sowohl zur störungstheoretischen Entwicklung der n-Punkt-Amplituden als auch zur nichtstörungstheoretischen, numerischen Bestimmung in der Gittereichtheorie bietet.

In Quantenfeldtheorien, denen eine bestimmte Symmetrie zu Grunde liegt, wird das Funktionalintegral-Mass in der Symmetriegruppe zu jeden Raumzeitpunkt entsprechend dem gruppeninvarianten Mass (Haar-Mass) ausgeführt. Bedingungen wie das Gauss-Gesetz in Eichtheorien können ebenfalls als Funktionalintegrale geschrieben und dadurch als Teil der effektiven Wirkung aufgefasst werden. Schliesslich ist die Pfadintegral-Methode erweiterbar auf fermionische Felder (und dadurch auf Kombinationen von bosonischen und fermionischen Freiheitsgraden) mit Hilfe der Grassmann-Variablen. Eine solche Erweiterung macht erst die Beschreibung der Geisterfelder und die supersymmetrische Formulierung (Supersymmetrie) zugänglich.

Hauptanwendungsgebiet des Pfadintegral-Formalismus ist die Feldtheorie (Teilchenphysik, Festkörperphysik); aber auch quantenmechanische und klassisch-stochastische Probleme wurden in der Kernphysik oder Polymerphysik mit dieser Methode berechnet.

 

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