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Einstein-Cartan-Theorie

Relativitätstheorie und Gravitation, EC-Theorie, eine allgemein-relativistische (d.h. dem Äquivalenzprinzip unterworfene) Theorie der Gravitation, zugleich das einfachste Beispiel einer speziellen Klasse von Eichtheorien der Gravitation, der Poincaré-Eichtheorien. Die EC-Theorie wurde 1961-1965 auf der Basis der Allgemeinen Relativitätstheorie nach Ideen des französischen Mathematikers E. Cartan entwickelt. Die Weiterentwicklung besteht darin, dass neben dem Energie-Impuls-Tensor auch der Spintensor als gravitative Ladung, also als Quelle eines Gravitationsfeldes, betrachtet wird. Ein heuristisches Argument dafür liefert die Klassifizierung von Elementarteilchen in der Speziellen Relativitätstheorie nach den zwei Invarianten der Poincaré-Gruppe, die eng mit Masse und Spin der Teilchen verknüpft sind.

Die Feldgleichungen der EC-Theorie lauten

Einstein-Cartan-Theorie

In den zwei Feldgleichungen koppelt - dies noch in Analogie zu den Einstein-Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie - der Energie-Impuls-Tensor der Materie an die Krümmung der Raumzeit. Zusätzlich koppelt jedoch auch der Spintensor tab, verstanden als der Spin der fermionischen Elementarteilchen, an den Torsionstensor Tabg, und in einem weiteren Unterschied zur Allgemeinen Relativitätstheorie ist der sogenannte kanonische Energie-Impuls-Tensor Sab im allgemeinen unsymmetrisch. Die Kopplungskonstante k ist die Einsteinsche Gravitationskonstante.

Für spinlose Materie stimmt die EC-Theorie mit der Allgemeinen Relativitätstheorie überein. Die Spin-Wechselwirkung ist eine Kontaktwechselwirkung, deshalb ist die Torsion - im Gegensatz zu allgemeineren Poincaré-Eichtheorien - ein nicht-propagierendes Feld, es treten also keine Torsionswellen im Vakuum auf. Unter Normalbedingungen ist die Spin-Wechselwirkung so schwach, dass die EC-Theorie keine messbare Abweichung von der experimentell gut bestätigten Allgemeinen Relativitätstheorie vorhersagt; sie ist somit eine diskussionswürdige Gravitationstheorie. Abweichungen werden erst für Materiedichten von der Grössenordnung r = 1050 kg m - 3 für Elektronen bzw. r = 1057 kg m - 3 für Neutronen relevant. Solche extrem hohen Dichten tauchen nur in der Nähe der finalen Singularität nach einem Gravitationskollaps (Schwarze Löcher) oder im sehr frühen Kosmos (Urknall) auf, wodurch die Einstein-Cartan-Theorie oder ähnliche Eichtheorien der Gravitation bei der Suche nach einer konsistenten Theorie der Quantengravitation als klassische Alternative zur Allgemeinen Relativitätstheorie von Bedeutung sein könnten. [RAP]

 

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