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euklidische Quantenfeldtheorie

Thermodynamik und statistische Physik, Arbeitsgebiet, das sich mit den Eigenschaften der Schwinger-Funktionen zu einer Quantenfeldtheorie, ihrer Darstellung als n-te Momente eines geeigneten Masses über dem Raum der temperierten Distributionen sowie den Methoden ihrer störungstheoretischen oder nicht-störungstheoretischen Berechnung beschäftigt.

Die Vakuumerwartungswerte von Produkten von Feldoperatoren F(x) einer relativistischen Quantenfeldtheorie, d.h. die Wightman-DistributionenW(x1,...,xn) = áW|F(x1)...F(xn)|Wñ,

lassen sich analytisch in ihren Argumenten xi = (ti, xi) fortsetzen. Insbesondere existieren die Fortsetzungen zu rein imaginären Zeitargumenten, die sogenannten Schwinger-Distributionen:S(t1,x1,...,tn,xn) = W(it1,x1,...,itn,xn).

Aus den Schwinger-Distributionen lassen sich umgekehrt auch wieder die Wightman-Funktionen bestimmen. Dazu müssen die Schwinger-Funktionen einem Satz von Bedingungen genügen, die oft als Axiome einer euklidischen Quantenfeldtheorie bzw. Osterwalder-Schrader-Axiome bezeichnet werden (axiomatische Quantenfeldtheorie).

In der euklidischen Quantenfeldtheorie wird postuliert, dass sich diese Schwinger-Distributionen als Momente eines Masses dm[f] über dem Raum der temperierten Distributionen darstellen lassen.:

 .

Die Untersuchung der Eigenschaften dieses Masses sind ebenfalls Gegenstand der euklidischen Quantenfeldtheorie. Die axiomatischen Eigenschaften der Schwinger-Distributionen lassen sich auch als Eigenschaften für das Mass formulieren.

In Anlehnung an den Funktionalintegralformalismus einer Quantenfeldtheorie (Pfadintegral) schreibt man für das Mass oft:

dm[f] = Df exp(SE[f]).

Hierbei bezeichnet SE[f] die euklidische Wirkung zu einer Feldtheorie und Df ein geeignetes invariantes Mass. Eine solche Darstellung ist jedoch rein formal, da die Existenz des Masses Df im allgemeinen nicht gewährleistet ist. Insbesondere verlangt die Funktionalintegraldarstellung von fermionischen Feldtheorien die Einführung von Grassmann-Algebra-wertigen Feldern.

Trotzdem ist die Funktionalintegraldarstellung für die Formulierung von Methoden zur Berechnung der Schwinger-Distributionen oft hilfreich. So lässt sich aus der Funktionalintegraldarstellung formal die euklidische Störungstheorie herleiten, wobei in den Feynman-Integralen die kausalen Propagatorfunktionen durch die entsprechenden euklidischen Green-Funktionen zu ersetzen sind. Wegen der fehlenden Singularität dieser euklidischen Green-Funktionen auf der Massenschale lassen sich Feynman-Integrale in der euklidischen Formulierung oft leichter berechnen.

Auch bei der Entwicklung nicht-störungstheoretischer Verfahren zur Berechnung der Schwinger-Distributionen dient die formale euklidische Funktionalintegraldarstellung vielfach als Anhaltspunkt. In diesem Zusammenhang sind die Gitterregularisierungen von euklidischen Quantenfeldtheorien, insbesondere die Gittereichtheorien, besonders hervorzuheben. Durch sie wurde es möglich, effektive numerische Verfahren (Monte-Carlo-Methoden) zur Bestimmung der euklidischen Erwartungswerte zu entwickeln. [TF3]

 

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