Schrödinger-Gleichung
Quantenmechanik,
Bewegungsgleichung für die den Zustand eines quantenmechanischen Systems
beschreibende Wellenfunktion, die Schrödinger-Funktion, allgemeiner für den
entsprechenden Zustandsvektor y. Die Schrödinger-Gleichung wurde erstmals von
E. Schrödinger (1926) angegeben und lautet , wobei (h: Plancksches
Wirkungsquantum, : der von den
Orts- und Impulsoperatoren und abhängende Hamilton-Operator). In der
Ortsdarstellung lautet die Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen der Masse m im Potential V(r) in kartesischen Koordinaten:

( :
Laplace-Operator). Neben dieser zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung ergibt
sich durch den Ansatz die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung , die im eben
betrachteten Spezialfall in

übergeht; sie ist die Eigenwertgleichung für den
Hamilton-Operator und hat nur für ganz bestimmte Werte , die
Energieeigenwerte, (normierbare) Lösungen , die
Eigenlösungen, auch Eigenfunktionen genannt, die gebundene stationäre Zustände
des Systems beschreiben (Eigenwerte). Durch nicht-normierbare, aber beschränkte
Lösungen kann man stationäre Streuprozesse beschreiben; das Energiespektrum ist
dann kontinuierlich.
Bei mehreren Teilchen ist die Wellenfunktion eine Funktion
aller Ortskoordinaten; der Hamilton-Operator entsteht aus der klassischen
Hamilton-Gleichung (Analytische Mechanik), indem man alle verallgemeinerten
Impulse durch die Operatoren ersetzt. Relativistische Verallgemeinerungen
sind die Klein-Gordon-Gleichung und die Dirac-Gleichung. Die
Schrödinger-Gleichung und ihre Verallgemeinerungen sind grundlegend für die
Theorie des Atom- und Molekülbaus und für viele Probleme der Kern- und
Elementarteilchenphysik.
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