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Schwingungen, kleine

Schwingungen und Wellen, Schwingungen mit verhältnismässig geringer Amplitude. Häufig kann unter dieser Einschränkung die rücktreibende Kraft als zur Auslenkung proportional angesehen werden und das System führt lineare Schwingungen aus. Bei grösseren Auslenkungen müssen für reale Systeme bei der rücktreibenden Kraft meist auch höhere Potenzen der Auslenkung berücksichtigt werden. Es handelt sich dann um nichtlineare Schwingungen.

Bei der Betrachtung eines holonomen und konservativen Systems mit Schwingungen, kleine Freiheitsgraden, das freie Schwingungen (d.h. ohne Einfluss äusserer Kräfte) um eine stabile Gleichgewichtslage ausführt, erhält man für die potentielle Energie Schwingungen, kleine bzw. die kinetische Energie Schwingungen, kleine unter Vernachlässigung der Glieder von höherer als 2. Ordnung als Funktion der verallgemeinerten Koordinaten Schwingungen, kleine (Schwingungen, kleine)

Schwingungen, kleine

mit symmetrischen Koeffizienten Schwingungen, kleine und Schwingungen, kleine. In der Gleichgewichtslage gelte Schwingungen, kleine.

Die Lagrange-Gleichungen führen auf ein gekoppeltes System von Schwingungen, kleine linearen homogenen Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, die Schwingungsgleichungen

Schwingungen, kleine

mit Schwingungen, kleine für die zu bestimmenden Funktionen Schwingungen, kleine. Der Lösungsansatz Schwingungen, kleine mit komplexen Amplituden Schwingungen, kleine führt auf ein algebraisches Gleichungssystem für die Konstanten Schwingungen, kleine, das nur für bestimmte Werte der Kreisfrequenz Schwingungen, kleine, den Eigenfrequenzen des Systems, lösbar ist. Diese erhält man aus der charakteristischen Gleichung Schwingungen, kleine. Es ergeben sich Schwingungen, kleine unter Umständen mehrfache Lösungen Schwingungen, kleine und entsprechend Schwingungen, kleine verschiedene partikuläre Lösungen

Schwingungen, kleine

Die Schwingungen, kleine ergeben sich aus dem Gleichungssystem durch Einsetzen der verschiedenen Schwingungen, kleine und die Schwingungen, kleine sind beliebige komplexe Konstanten. Die Schwingungen, kleine nennt man Eigenschwingungen des Systems. Sie können, da es sich um harmonische Schwingungen handelt, als Elementaroszillationen oder Elementaranregungen angesehen werden, die durch je einen eindimensionalen harmonischen Oszillator repräsentiert werden könnten.

Die allgemeine Lösung ergibt sich als Überlagerung Schwingungen, kleine, mit Schwingungen, kleine.

Führt man statt Schwingungen, kleine die Schwingungen, kleine als unabhängige Variable ein, so lautet für Schwingungen, kleine das Differentialgleichungssystem Schwingungen, kleine, d.h. es ist entkoppelt und zerfällt in Schwingungen, kleine voneinander unabhängige Schwingungsgleichungen. Kinetische und potentielle Energie haben dann die einfache Gestalt Schwingungen, kleine, Schwingungen, kleine, wobei Schwingungen, kleine mit konstanten und positiven Schwingungen, kleine. Schwingungen, kleine und Schwingungen, kleine sind auf Hauptachsen transformierte quadratische Formen. Man kann daher auch umgekehrt durch Hauptachsentransformation der Lagrange-Funktion Schwingungen, kleine von Anfang an die Lösung des Problems auf die Behandlung von Schwingungen, kleine unabhängigen Oszillatoren reduzieren. Die Schwingungen dieser Oszillatoren heissen Haupt-, Normal- oder Fundamentalschwingungen, die Schwingungen, kleine Haupt-, Normal- oder Rayleighsche Koordinaten, die Schwingungen, kleine auch Normal- oder Fundamentalfrequenzen. Jede beliebige Schwingung des Systems kann durch Überlagerung dieser Fundamentalschwingungen dargestellt werden.

Die Benutzung von Normalkoordinaten ermöglicht eine einfache Behandlung erzwungener Schwingungen (d.h. Schwingungen unter dem Einfluss äusserer Kräfte). Die Bewegungsgleichungen für den ungedämpften Fall lauten Schwingungen, kleine, wenn die Schwingungen, kleine die erregenden verallgemeinerten Kräfte sind. Beim Übergang auf Normalkoordinaten transformieren sich diese ebenfalls. Es folgt Schwingungen, kleine mit Schwingungen, kleine. Dies ist aber identisch mit der erzwungenen Schwingung von Schwingungen, kleine unabhängigen harmonischen Oszillatoren.

Die Behandlung freier und erzwungener gedämpfter Schwingungen ist schwieriger, da zusätzliche dissipative Kräfte wirken.

Von den Geschwindigkeiten Schwingungen, kleine linear abhängende Reibungskräfte Schwingungen, kleine können über die Rayleighsche Dissipationsfunktion Schwingungen, kleine berücksichtigt werden, wobei die symmetrischen Koeffizienten Schwingungen, kleine zwar von den verallgemeinerten Koordinaten abhängen, in der Umgebung der Gleichgewichtslage jedoch als konstant angesehen werden können. Die von der Reibung herrührenden Zusätze zu den verallgemeinerten Kräften ergeben sich damit zu Schwingungen, kleine. Das Differentialgleichungssystem für die Schwingungen erweitert sich um Summanden Schwingungen, kleine und kann mit dem gleichen Ansatz gelöst werden.

Aussagen über die Stabilität von Gleichgewichtszuständen holonom-skleronomer Systeme kann man mit Hilfe der Methode kleiner Schwingungen machen. Stabilität des Gleichgewichtszustandes liegt dann vor, wenn nach einer kleinen Störung, d.h. einer Auslenkung des Systems aus der Gleichgewichtslage Schwingungen, kleine um Schwingungen, kleine (Schwingungen, kleine), die Schwingungen, kleine mit wachsender Zeit abklingen oder wenigstens beschränkt bleiben. Es ist durchaus möglich, dass dissipative Kräfte zu einer Stabilisierung führen, falls das ungedämpfte System instabil ist.

 

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