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Dreikörperproblem

Klassische Mechanik, das nicht allgemein lösbare mechanische Problem der Wechselwirkung dreier physikalischer Systeme; speziell in der Himmelsmechanik das Problem der Bewegung dreier Himmelskörper unter dem Einfluss ihrer gegenseitigen Massenanziehung auf der Basis des Newtonschen Gravitationsgesetzes.

Das Dreikörperproblem führt zu neun gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung und erfordert daher insgesamt 18 Integrationskonstanten, von denen jedoch nur 10 aus den allgemeinen Erhaltungssätzen für die Energie, den Impuls, den Drehimpuls und die Schwerpunktsbewegung folgen. Trotz der Bemühungen grosser Mathematiker seit mehr als zwei Jahrhunderten konnte noch keine allgemeine Lösung oder ein allgemeines Nährungsverfahren angegeben werden; es ergab sich dagegen, dass es keine weiteren Bewegungsintegrale ausser den aus den genannten Erhaltungssätzen folgenden gibt, die algebraische bzw. eindeutige analytische Funktionen der Orte und Geschwindigkeiten der Himmelskörper sind.

Von J. L. Lagrange wurden zwei exakt lösbare Sonderfälle angegeben, und zwar

1) wenn die drei Massenpunkte die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks besetzen und sich dann mit gleicher Umlaufzeit auf einander ähnlichen Ellipsen bewegen, wobei die Gleichseitigkeit des Dreiecks erhalten bleibt, näherungsweise verwirklicht für die Himmelskörper Sonne, Jupiter und die Planetoiden der Trojanergruppe;

2) wenn die drei Massenpunkte auf derselben rotierenden Geraden liegen.

Die beiden Lagrangeschen Spezialfälle führten zur genaueren Untersuchung partikulärer oder periodischer Lösungen des Dreikörperproblems, die besonders von H. Poincaré für das eingeschränkte Dreikörperproblem allgemein betrachtet wurden, wobei zwei der Massen, m2 und m3, in bestimmter Weise klein gegenüber der Masse m1 = 1/a sind: m2 = a2 m; m3 = a3 m; a Dreikörperproblem 0, a1, a2 = const. Im Falle des erweiterten eingeschränkten Dreikörperproblems wird nur m3 » 0 angenommen; m1 und m2 bewegen sich dabei auf Kreisen um den gemeinsamen Schwerpunkt. Ist ferner m2 << m1, so kann, wie dies für das Dreikörperproblem Sonne, Erde und Mond zutrifft, bei bestimmten Klassen von Bewegungen die Stabilität nachgewiesen werden. Für das allgemeine Dreikörperproblem sind nur numerische Integrationsmethoden anwendbar.

Poincaré erkannte im Rahmen seiner Untersuchungen, dass das Dreikörpersystem unter Umständen chaotisches Verhalten zeigen kann; dies führt einerseits z.B. dazu, dass die meisten Bahnen der Planeten und insbesondere der Asteroiden und Kometen im Sonnensystem langfristig instabil sind, andererseits ermöglicht es, mit dem Verfahren der Chaoskontrolle instabile Bahnen von Raumsonden und Satelliten durch kleine Korrekturen zu stabilisieren.

 

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